Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Занимательные и нестандартные задачи

          На этой странице я предполагаю выкладывать некоторые нестандартные, а также олимпиадные и занимательные задачи, встречавшиеся мне в репетиторской практике.

Задача из олимпиады по криптографии
          Как-то, один мой коллега-репетитор позвонил мне и сказал: "Есть очень необычные задачи, есть над чем подумать". Эта задача встретилась ему на занятии с одним из учеников. Криптография, согласно Википедии - это наука о методах обеспечения конфиденциальности (невозможности прочтения информации посторонним), целостности данных (невозможности незаметного изменения информации), аутентификации (проверки подлинности авторства или иных свойств объекта), а также невозможности отказа от авторства. Говоря проще, это наука о составлении зашифрованных посланий и расшифровке их. Итак, задача.
          Цифры 0; 1; ... 9 разбиты на несколько не пересекающихся групп. Из цифр каждой группы составлены всевозможные числа, для записи которых каждая цифра группы используется ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке возрастания и n-ому числу поставилив соответствие n-ую букву алфавита:
АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ
Оказалось, что каждой букве соответствует число и каждому числу соответствует некоторая буква. Шифрование сообщения осуществляется заменой каждой буквы соответствующим ей числом. Если ненулевоечисло начинается с нуля, то при шифровании этот нуль не выписывается. Восстановите сообщение 873146507381 и укажите таблицу замены букв цифрами.
          Решение. Несмотря на довольно мудрёное условие, задача примерно соответствует уровню 6-го класса математической школы. Во всяком случае, у меня был случай, что ее решил шестиклассник. Для решения прежде всего надо проанализировать сообщение "873146507381". Обращают на себя внимание комбинации из трех цифр, написанных подряд 873 и 738, либо из четырёх - 8731 и 7381. Удостовериться, что последний вариант не проходит, предлагаю посетителям страницы. Рассмотрим первый вариант. Как известно из комбинаторики (элементы которой некоторые учителя преподносят школькиом на занятиях кружка уже в 6-м классе), количество различных комбинаций из четырёх цифр равняется 4!, т.е. 4! = 1x2x3x4=24. Количество различных комбираций из трёх цифр равняется 3!, т.е. 3!=1x2x3. Предположим, что цмфры 378 образуют одну группу, а цифры 0; 4; 5; 6 - другую. Остаются цифры 1; 2 и 9. Считаем комбинации. Из трех цифр - 6 комбинаций (каждая цифра используется ровно один раз согласно условию), из четырёх цифр - 24 комбинации. Из оставшихся трёх цифр получаются еще три числа. Т.е. 33 числа соответствуют 33-ти буквам алфавита. Так как в записи сообщения цифра "1" стоит обособленно, то она соответствует числу "1", а из оставшихся цифр 2 и 9 образуется два числа. Напишем получившиеся числа: 1, 29, 92, 378, 387, 738, 783, 837, 873, 456 (ноль в начале не пишем), 465 (ноль в начале не пишем), 546 (ноль в начале не пишем), 564 (ноль в начале не пишем), 645 (ноль в начале не пишем), 654 (ноль в начале не пишем), 4056, 4065, 4506, 4560, 4605, 4650, 5046, 5064, 5406, 5460, 5604, 5640, 6045, 6054, 6405, 6450, 6504, 6540. Расположив эти числа по порядку поставим каждому числу в соответствие букву также по порядку следования букв в алфавите: 1 - А, 29 - Б, 92 - В, 378 - Г, 387 - Д, 456 - Е, 465 - Ё, 546 - Ж, 564 - З, 645 - И, 654 - Й, 738 - К, 783 - Л, 837 - М, 873 - Н, 4056 - О, 4065 - П, 4506 - Р, 4560 - С, 4605 - Т, 4650 - У, 5046 - Ф, 5064 - Х, 5406 - Ц, 5460 - Ч, 5604 - Ш, 5640 - Ш, 6045 - Ъ, 6054 - Ы, 6405 - Ь, 6450 - Э, 6504 - Ю, 6540 - Я.
          Таким образом заданный текст сообщения читается следующим образом: 873 - Н, 1 - А, 4650 - У, 738 - К, 1 - А. То есть зашифровано слово "наука".

Репетитор по математике 8-968-423-95-89 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.