Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва

Чётность и нечётность. Формула чётного числа. Формула нечётного числа

Немного теории

         Среди олимпиадных задач для 5-6 классов обычно особую группу составляют такие, где требуется использовать свойства чётности (нечётности) чисел. Простые и очевидные сами по себе эти свойства легко запоминаются или выводятся, и часто у школьников не возникает каких-либо сложностей при их изучении. Но порой применить эти свойства и, главное, догадаться, что именно их надо применить для того или иного доказательства, бывает непросто. Перечислим здесь эти свойства.

свойства чётности/нечётности


         Рассматривая с учениками задачи, в которых следует воспользоваться этими свойствами, нельзя не рассмотреть и такие, для решения которых важно знать формулы чётного и нечётного чисел. Опыт преподавания этих формул пяти-шестиклассникам показывает, что многие из них даже не задумывались, что любое чётное число, как и нечётное, можно выразить формулой. Методически бывает полезно озадачить ученика вопросом написать сначала формулу нечётного числа. Дело в том, что формула чётного числа выглядит понятной и очевидной, а формула нечётного числа является своего рода следствием из формулы чётного числа. А если ученик в процессе изучения нового для себя материала задумался, сделав паузу для этого, то он скорее запомнит обе формулы, чем если начинать с объяснение с формулы чётного числа. Так как чётное число - это то число, которое делится на 2, то его можно записать, как 2n, где n — целое число, а нечётное — соответственно как 2n+1.

формулы чётного и нечётного числа



         Ниже приведены наиболее простые задачи на чётность/нечётность, которые бывает полезно рассматривать в виде лёгкой разминки.

Задачи


         1) Докажите, что нельзя подобрать 5 нечётных чисел, сумма которых равна 100.

         2) Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали на 3 или 5 частей. Некоторые из образовавшихся частей снова разорвали на 3 или 5 частей и так несколько раз. Можно ли после нескольких шагов получить 100 частей?

         3) Чётна или нечётна сумма всех натуральных чисел от 1 до 2019?

         4) Докажите, что сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 4.

         5) Можно ли соединить 13 городов дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?

         6) Директор школы в своём отчёте написал, что в школе 788 учащихся, причём мальчиков на 225 больше, чем девочек. Но проверяющий инспектор сразу сообщил, что в отчёте допущена ошибка. Как он рассуждал?

         7) Записано четыре числа: 0; 0; 0; 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?

         8) Шахматный конь вышел из клетки a1 и через несколько ходов вернулся обратно. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

         9) Можно ли сложить замкнутую цепочку из 2017-ти квадратных плиток таким способом, как показано на рисунке?
пример замкнутой цепочки


         10) Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей
сумма дробей


         11) Докажите, что если сумма двух чисел есть число нечётное, то произведение этих чисел всегда будет числом чётным.

         12) Числа a и b - целые. Известно, что a + b = 2018. Может ли сумма 7a + 5b равняться 7891?

         13) В парламенте некоторой страны две палаты с равным количеством депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты. По окончании голосования председатель парламента сказал, что предложение принято большинством в 23 голоса, причём воздержавшихся не было. После чего один из депутатов сказал, что результаты сфальсифицированы. Как он догадался?

         14) На прямой расположено несколько точек. Между двумя соседними точками поставили по точке. И так ставили точки дальше. После точки подсчитали. Может ли количество точек быть равным 2018?

         15) Кузнецу заказали выковать 10 комплектов доспехов. Каждый комплект может стоить 3, 5 или 7 тугриков. Могут ли они стоить в сумме 53 тугрика?

         16) В шахматной секции мальчиков в 14 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20-ти человек. Смогут ли они разбиться на пары?

         17) Можно ли в таблице 5х5 расставить 25 натуральных чисел, чтобы во всех строках суммы были чётные, а во всех столбцах - нечётные?

         18) У Пети есть 100 рублей одной купюрой, а у Андрея полные карманы монет по 2 и 5 рублей. Сколькими способами Андрей может разменять купюру Пети?

         19) Запишите в строчку пять чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была нечётная, а сумма всех чисел была чётная.

         20) Можно ли записать в строчку шесть чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была чётная, а сумма всех чисел была бы нечёитная?

         21) В секции фехтования мальчиков в 10 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20-ти человек. Смогут ли они разбиться на пары? Смогут ли они разбиться на пары, если мальчиков будет в 9 раз больше, чем девочек? А если в 8 раз больше?

         22) В десяти коробках лежат конфеты. В первой - 1, во второй - 2, в третьей - 3, и т.д., в десятой - 10. Пете за один ход разрешается в любые две коробки добавлять по три конфеты. Сможет ли Петя за несколько ходов уравнять количество конфет в коробках? Может ли Петя уравнять количество конфет в коробках подкладывая в две коробки по три конфеты, если изначально коробок 11?

         23) 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа одного пола.

         24) Маша и несколько пятиклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит 10 мальчиков, то сколько там стоит девочек?

         25) На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по замкнутой цепочке, причём 11-я соединена с 1-й. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?

         26) Докажите, что дробь сумма дробей есть целое число при любом натуральном n.

         27) На столе лежат 9 монет, причём одна из них вверх олрлом, другие - вверх решкой. Можно ли все монеты положить вверх орлом, если разрешено одновременно переворачивать две монеты?

         28) Можно ли в таблице 5х5 расставить 25 натуральных чисел так, чтобы во всех строках суммы были чётные, а во всех столбцах - нечётные?

         29) Кузнечик прыгает по прямой: первый раз - на 1 см, второй раз на 2 см, третий раз на 3 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на старое место?

         30) Улитка ползает по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

         31) В ряд выписаны числа от 1 до 2000. Можно ли меняя местами числа через одно, переставить их в обратном порядке?

         32) На доске написаны 8 простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма равняться 79?

         33) Маша и её друзья встали в круг. Оба соседа любого из детей - одного пола. Мальчиков 5, сколько девочек?

Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589, подготовка к олимпиадам 5-6 классов

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы