Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва

Делимость. Часть I. Введение


          Задачи, в которых используются признаки делимости, часто встречаются на олимпиадах и нередко вызывают у школьников затруднения. Это во многом связано с тем, что в школьной программе признакам делимости отводится слишком мало часов, да и задач на тему делимости в учебниках довольно мало. В результате у учеников часто нет опыта в том, где эти признаки можно применить, кроме как для разложения на множители и нахождения НОД и НОК. Однако на тему делимости чисел встречается много олимпиадных задач. Причём эти задачи условно можно разделить на две группы. Первая — это те задачи, где требуется применить те признаки делимости, которые проходятся в школе, а вторая — задачи, в которых требуется иметь представление о более сложных признаках. Поэтому в плане подготовки к олимпиадам бывает полезно разделять занятия на делимость. Первое — посвящать "школьным" признакам делимости — наиболее простым. На втором занятии следует рассматривать признаки делимости на 7, 11, 13 и задачи, в которых эти признаки можно задействовать. Третье занятие посвятить задачам на остатки.
         Признаки делимости на "2", "3", "5", "9" обычно неплохо освещаются в школе. Поэтому не стану их рассматривать подробно. Лучше уделить внимание тем признакам, которые в школе не рассматриваются, хотя они и достаточно просты. Их знание позволит ученикам шире смотреть на методы, работающие в задачах на делимость.
         Делимость суммы. Кажется, в этом правиле всё настолько естественно и понятно, что и говорить о нём не стоило бы. Однако бывает полезно о таком правиле знать.
          Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
          Если одно из слагаемых не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

         Пример. Число 416 делится на 13, так как может быть разбито на слагаемые, каждое из которых делится на 13: 416 = 130 + 130 + 130 + 26.
Число 278 не делится на 13 так как, Сумма 130+130+18 имеет слагаемое 18, которое не делится на 13.


         Делимость произведения.
          Если один из множителей числа делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

         Это правило непосредственно вытекает из разложения числа на множители, что изучается в школе. Кажется всё просто и понятно, но порой это правило забывается, если к решению предлагаются задачи, в которых применимость этого правила видна не сразу. Пример: Делится ли число ЛАЛАЛА на 7, если под Л и А зашифрованы какие-то цифры числа?
         Решение: Поделив число ЛАЛАЛА на число ЛА получаем: ЛАЛАЛА = ЛА х 10101. Так как число 10101 делится на 7, то и всё число ЛАЛАЛА тоже делится на 7. Кстати, это можно джоказать и с помощью правила делимости суммы (разложив число ЛАЛАЛА на разряды, получим два слагаемых Л х 101010 + А х 10101. Числа 101010 и 10101 делятся на 7. Значиит, и всё число ЛАЛАЛА делится на 7).

          Кроме того, шестиклассникам, готовящимся к олимпиадам, по теме "Делимость" полезно знать достаточно простое правило нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух чисел, которое в школе не изучается, но бывает полезно, поскольку не требует разложения двух чисел на множители.

          Алгоритм Евклида с вычитанием: Из двух чисел, НОД которых надо найти, большее заменяем разностью этих чисел. И так действуем до тех пор, пока на месте обоих чисел не останется одно и то же ненулевое число. Оно и будет НОД этих чисел.


         Пример. Пусть надо найти НОД (504; 756). Применим алгоритм Евклида с вычитанием: НОД (504; 756) = НОД (504; 756—504) = НОД (504; 252) = НОД (252; 252). Таким образом, НОД этих чисел равен 252. Предлагаю посетителям этой страницы проверить НОД этих чисел, найдя его традиционным школьным методом с помощью разложения обоих чисел на множители.

          Алгоритм Евклида с делением: Из двух чисел, НОД которых надо найти, большее делим на меньшее и заменяем большее остатком от деления на меньшее. И так действуем до тех пор, пока не получится нулевой остаток. Последний ненулевой остаток и будет НОД данных чисел.

         Пример. Пусть надо найти НОД (255; 238). Применим алгоритм Евклида с делением: 255 : 238 = 1 (остаток 17). 238 : 17 = 14 (остаток 0).

Вместе с тем, хочется подчеркнуть, эта страница написана для тех школьников, кто хочет знать больше и кто готовится к олимпиадам. Не рекомендую применять алгоритм Евклида на уроках в школе, где требуется четко освоить методы, рекомендованные к изучению по программе.
         Зависимость НОД и НОК от чисел
          НОД (X; Y) х НОК (X; Y) = X x Y.

Задачи


         1) Ковбой Джо зашел в баp. Он купил бутылку виски за 6 доллаpов, тpубку за 9 доллаpов, 6 пачек табака и пятнадцать коpобок спичек. Баpмен сказал: "С вас 38 доллаpов 95 центов за все". Вместо ответа Джо выхватил pевольвеp. Почему он pешил, что баpмен собиpается его надуть?

         2) Налётчики огpабили почтовый экспpесс. В пеpестpелке с охpаной двое погибли, и добычу пpедстояло pазделить на шестеpых. Добычу pазделили поpовну, но один слиток оказался лишним. Вспыхнула ссоpа, свеpкнули ножи, загpемели выстpелы. Один из налётчиков был убит. Оставшиеся налётчики стали вновь делить золото, но снова один слиток оказался лишним, и снова в завязавшейся ссоpе погиб один налетчик. И так далее: каждый pаз один слиток оказывался лишним и в завязавшейся дpаке убивали одного pазбойника. В конце концов остался лишь один налетчик, котоpый тут же скончался от pан. Сколько было слитков золота, если известно, что их было менее 100?

         3) К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

         4) Про трехзначное число известно, что если от него отнять 7, то результат разделится на 7, если от него отнять 8, то результат разделится на 8, а если отнять 9, то результат разделится на 9. Что это за число?

         5) Про двузначное число X сделано 6 утверждений:
         а) X делится на 3;
         б) X делится на 5;
         в) X делится на 9;
         г) X делится на 15;
         д) X делится на 25;
         е) X делится на 45.
         Найдите все такие X, для которых будут истинны ровно три из этих утверждений.

         6) Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 или по 6 человек, то каждый раз один оставался лишним, а когда построились в колонну по 7, лишних не осталось. Каким могло быть наименьшее количество солдат?

         7) В классе учатся 27 человек, но на урок физкультуры пришли не все. Учитель разбил пришедших на две равные по численности команды для игры в пионербол. При этом в первой команде была половина всех пришедших мальчиков и треть всех пришедших девочек, а во второй — половина всех пришедших девочек и четверть всех пришедших мальчиков. Остальные пришедшие ребята помогали судить. Сколько помощников могло быть у судьи?

         8) Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали грибы. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика грибов либо вдвое больше, либо впятеро меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 грибов?

         9) Четверо товарищей покупают лодку. Первый вносит половину суммы, вносимой остальными; второй — треть суммы, вносимой остальными; третий — четверть суммы, вносимой остальными; четвёртый — 130 рублей. Сколько стоит лодка?

         10) Найдите два последовательных двузначных натуральных числа, у первого из которых сумма цифр делится на 8, а второе – само делится на 8.

         11) Найдите наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дает в остатке 1.

         12) Среди некоторых 13 последовательных натуральных чисел 7 чётных и 5 кратных трём. Сколько среди них чисел, кратных 6?

         13) Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

         14) Докажите, что произведение любых пяти последовательных целых чисел делится на 120.

         15) Докажите, что если a + 1 делится на 3, то и 4 + 7a тоже делится на 3.

         16) Может ли число, записываемое при помощи ста нулей, ста единиц и ста двоек быть точным квадратом?

         17) Одно число больше другого в 10 раз. Во сколько раз НОК этих чисел больше их НОД?

         18) Поле разделили на 9 участков, некоторые из полученных участков снова разделили на 9 участков, некоторые из полученных участков снова разделили на 9 участков и т.д. Может ли в результате получиться 2017 участков или 2018 участков?

         19) Пусть a — натуральное число. Найдите НОД чисел 30a+25 и 20a+15.

         20) Найдите НОД и НОК чисел 42628 и 33124, используя алгоритм Евклида и формулу зависимости НОД и НОК.

         21) НОД двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 630, а их НОД равен 18. Найдите эти числа.

         22) Какое наибольшее значение может принимать НОД девятнадцати натуральных чисел, если их сумма равна 2000?

         23) Найдите два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24. В ответе укажите несколько пар таких чисел.

         24) Если числа 4373 и 826 разделить на одно и то же число, то получатся соответственно остатки 8 и 7. Чему равен делитель?

         25) Является ли число 1234123412341234 квадратом какого-либо целого числа?

         26) Является ли число 123321123321 квадратом какого-либо целого числа?

         27) Петя задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

         28) Доказать, что при любых натуральных m и n число (10m + 1) не делится на
(10n — 1).

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы