Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва

Делимость. Часть II. Признаки делимости на 7, 11, 13 и более сложные задачи на делимость


          Как правило, для решения достаточно простых и усложненных задач на делимость, рассматриваемых в школьной программе, достаточно сведений, изложенных в первой части группы задач на делимость Однако изучение математики в школе не стоит на месте. То, что раньше изучалось факультативно, на занятиях школьного кружка, теперь полезно знать и при решении олимпиадных задач, а также порой и на вступительных экзаменах в математические школы и лицеи. Поэтому полезно на занятиях по подготовке к олимпиадам в 6-м классе рассматривать с учениками и признаки делимости на 7, 11 и 13.

          Признак делимости на 7. Число делится на 7, когда на 7 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и вычитанием из оставшегося числа удвоенной последней цифры. В виде формулы этот признак можно записать так: число abcde (где a, b, c, d , e — цифры пятизначного числа) делится на 7, если на 7 делится число abcd—2e. Этот алгоритм можно выполнять несколько раз до тех пор, пока не получится число, гарантированно делящееся на 7.

         Пример.
Рассмотрим число 6867. 686 — 7х2 = 672. 67 — 2х2 = 63. 63 делится на 7, значит и 6367 делится на 7.
         Однако этот способ может быть не вполне удобен. Дело в том, что понять, делится ли число на 7 можно простым последовательным делением числа на 7. Например, в числе 6867 делим на 7 как бы столбиком и запоминаем только остатки. При этом частное можно не писать. То есть 68:7=9 и 5 в остатке. 56:7=8 и 0 в остатке. Наконец, 7:7=1 и 7 в остатке.

          Признак делимости на 11. Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11.

         Пример.
Число 1086415 делится на 11, так как 1 + 8 + 4 + 5 = 18; 0 + 6 + 1 = 7. 18 — 7 = 11.

          Признак делимости на 13. Число делится на 13, когда на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения этой цифры. В виде формулы этот признак можно записать так: число abcde (где a, b, c, d , e — цифры пятизначного числа) делится на 13, если на 13 делится число abcd+4e. Этот алгоритм можно выполнять несколько раз до тех пор, пока не получится число, гарантированно делящееся на 13.

         Пример.
Рассмотрим число 12831. 1283 + 4 х 1 = 1287. 128 + 4 х 7 = 156. 15 + 4 х 6 = 39. Как известно, 39 делится на 13. Значит, и исходное число 12831 делится на 13.

         Между тем, эти признаки делимости не так уж и часто применяются в решении задач. Особенно это относится к признакам делимости на 7 и на 13. Куда больше задач основано на том свойстве, что 1001 = 7 х 11 х 13. Таким образом, получаются несколько другие признаки делимости на 7, 11 и 13. Дело тут, по-видимому, в том, что в задачах, где этот признак можно применить, речь идет, как правило, о достаточно больших числах, что куда чаще встречается в задачах олимпиадного уровня.

          Так, для того, чтобы узнать, делится ли данное число на 7, 11 или 13 его запись разбивается справа налево на группы по три цифры в каждой (т.е. левая группа может содержать одну или две цифры, тогда идущие за ними группы содержат в себе по три цифры). После этого надо взять группы с нечётными номерами со знаком минус, а с чётными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося числа делится на 7, то и число делится на 7. Аналогично, если получившееся число делится на 11 (или 13), то и исхолдное число делится на 11 (или 13).

         Пример.
355316 делится на 13, так как 355 — 316 = 39, что делится на 13.

Задачи


         1) Докажите, что разность трехзначного числа, записанного разными цифрами и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9 и на 11.

         2) В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой, третья с шестой. Доказать, что число делится на 11, 7 и 13.

         3) Корзина, полная яблок, вмещает не более 500 яблок. Если бы их вынимали по 2, по 3, по 4, по 5 или по 6, то осталось бы одно яблоко. Их вынимали по 7, и остатка не получилось. Сколько было яблок в корзине?

         4) Петя написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нём все цифры на буквы, причём одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ x ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

         5) Числа (2 + a) и (35 — b) делятся на 11. Докажите, что и (a + b) делится на 11.

         6) Найдите наименьшее число, которое записано только единицами и делится на 33.

         7) Докажите, что только одно число, состоящее из чётного числа одинаковых цифр, простое. Найдите это число.

         8) Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы и сумма его цифр делится на 7, то в разложении этого числа на простые множители имеется число 7.

         9) Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

         10) Докажите, что два последовательных нечётных чисел — числа взаимно простые.

         11) Делится ли разность двух неравных чисел на НОД этих чисел?

         12) Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите наибольшее из таких чисел.

         13) Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.

         14) Найти четырехзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются на 1. В ответе укажите любое такое число.

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы