Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва

Нестандартные геометрические задачи


          Несмотря на то, что курс геометрии начинается в школе в 7-м классе, различного рода геометрические задачи, причём, зачастую достаточно оригинальные, требующие нестандартных методов решения, которые в школе не изучаются, встречаются на олимпиадах 5-6 классов, а также предлагаются на вступительных экзаменах в 5-й или 6-й класс лицеев и гимназий. Поэтому бывает полезно рассматривать и такие задачи на занятиях с репетитором в рамках курса по олимпиадной математике. Всё же, оригинальных задач на эту тему (без повторения идей) встречается не так уж и много. А поняв ту или иную идею, школьники достаточно легко справляются с аналогичными задачами. Поэтому важно рассматривать на занятиях ключевые задачи, а похожие задавать ученикам выполнять самостоятельно только для того, чтобы закрепить эти методы. Поскольку рассмотрение ключевых задач обычно не занимает много времени, целесообразно объединять эту группу задач с другими, например, с задачами на разрезание, с задачами "одним росчерком" или с задачами, решаемыми с помощью раскраски. Приведённые ниже задачи разделены на группы по ключевым идеям.

Задачи

Кратчайшим путём

         1) В одной из вершин куба сидит муравей (красная точка). Нарисуйте кратчайший путь, как ему проползти в зелёную точку.

задача о кратчайшем пути

         Подсказка репетитора по математике: На первый взгляд может показаться, что кратчайший путь здесь:
B → B1 → D1,
однако это не так. Найдите действительно самый короткий путь и докажите, почему найденный путь самый короткий.

         2) На ребре тетраэдра сидит жук. Он хочет проползти по каждой его грани и вернуться в исходную точку. Местонахождение жука показано красной точкой. Укажите кратчайший путь жука и найдите его длину, если ребро тетраэдра равно 1 см.
задача о кратчайшем пути тетраэдр


         3) По одну сторону от шоссе Москва-Тверь, находится почтовое отделение, где работает почтальон Печкин, и дом в Простоквашино, где живёт дядя Фёдор. Причём расстояния от почтового отделения до шоссе и от дома дяди Федора до того же шоссе различны. Печкин уже собирался ехать на велосипеде в Простоквашино, как на почту позвонили и сообщили, что в почтовой машине, двигающейся по шоссе, находится письмо для дяди Фёдора. В какой точке шоссе почтальону Печкину следует назначить встречу с почтовой машиной, чтобы расстояние от почтового отделения до дома дяди Фёдора с заездом к шоссе было минимальным?

          Квадраты

         1) В прямоугольник вписано 7 квадратов так, как показано на рисунке. Сторона каждого из красных квадратов равна 12 см. Чему равна сторона большого зелёного квадрата? Задачу требуется решить арифметическим способом.

задача о квадратах и прямоугольнике


         2) Задача из вступительного экзамена в 5-й класс гимназии 1543. Зелёный прямоугольник окружён каймой из больших и маленьких квадратов. Все большие квадраты одинаковые и все маленькие тоже одинаковые. Длина зелёного прямоугольника равна 48 см. Найдите его ширину. Решите задачу арифметическим способом.

задача о квадратах в прямоугольнике


         3) Прямоугольник составлен из квадратов. Сторона самого маленького (белого( квадрата равна 1 см. Найти сторону самого большого (красного) квадрата.
задача о квадратах в прямоугольнике


         4) Начертите на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого равна: а) 2 клетки;
б) 4 клетки; в) 5 клеток; г) 8 клеток; д) 9 клеток; е) 10 клеток.

          Углы

         1) Дан куб. Определите угол между красными отрезками:

задача об угле

         Подсказка репетитора по математике: Долгое время считалось, что
в 5-6 классах школьники знакомятся только как пользоваться транспортиром и лишь в 7-м классе в курсе геометрии изучают теорему о сумме углов треугольника. Поэтому определить, чему равен тот или иной угол, т.е. найти его математическими рассуждениями в 5-6 классах ещё рано. Однако в последнее время ситуация изменилась: появились учебники для 5-6 классов, в которых прямоугольный, равносторонний, равнобедренный треугольники, а также сумма углов треугольника рассматриваются уже в 6-м и даже в 5-м классах. Так, например, в учебнике "Математика - 6 класс" авторов Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, С.Б. Суворовой школьникам предлагается находить углы равностороннего треугольника (задача 1173 по учебнику, изданному в 2010 г.), в достаточно распространённом в последнее время учебнике "Математика 5 класс" С.М. Никольскиого, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина школьникам предлагаются задачи на построение треугольников по трём элементам (что когда-то входило в программу только 7-го класса). Так что те пяти- шестиклассники, которые занимаются по указанным здесь учебникам, как правило, легко решают эту задачу.

         2) Сколько градусов составляет угол, изображённый на рисунке:

угол


          Одним росчерком

         1) Можно ли ходом шахматного коня обойти все клетки фигуры, побывав в каждой клетке ровно один раз?
ходом коня


          Одним росчерком - означает, что необходимо нарисовать фигуры не отрывая карандаша от бумаги и по каждой линии дважды (туда и обратно) водить карандашом нельзя.

         2) Соедините 9 точек одним росчерком (четырьмя прямыми линиями):
одним росчерком


         3) Перерисуйте на лист бумаги 9 точек: 5 чёрных и 4 белых, как показано на рисунке:
одним росчерком пятиугольник и шестиугольник

         Изобразите такой пятиугольник, что все чёрные точки лежат вне его, а все белые внутри. Затем вновь перерисуйте ту же картинку и изобразите такой шестиугольник, что все чёрные точки лежат внутри него, а все белые – вне.

         4) Соедините 16 точек одним росчерком (шестью прямыми линиями):

одним росчерком


         Для того, чтобы ученики могли вдумчиво решать следующие задачи, полезно познакомить их с основными правилами теории графа. Это теория восходит к знаменитому швейцарскому, немецкому и российскому математику Леонарду Эйлеру. Заинтересовавшись задачей о кёнигсбергских мостах, в которой требовалось выяснить, можно ли пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходное место, Эйлер доказал невозможность её решения. В результате он вывел из этого несколько правил, которые положили начало теории графов и привели к появлению типа задач, в которых требуется нарисовать различные геометрические композиции одним росчерком.

         Граф — это набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, линии — рёбрами.
         1. Если в графе нет нечётных точек, то её можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с любого места.
         2. Если в графе две нечётные вершины, то ее можно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, причём вычерчивать нужно начинать в одной нечётной точке, а закончить в другой.
          3. Если в графе более двух нечётных точек, то её нельзя начертить одним росчерком карандаша.
          (нечётная точка - это узел на рисунке, из которого исходит нечётное количество линий. Чётная точка - из которой исходит чётное количество линий).


         5) Какие из этих фигур можно начертить одним росчерком и какие нельзя? Ответ поясните. Покажите путь одним росчерком для тех фигур, которые можно нарисовать одним росчерком.
одним росчерком


         6) Пешеход обошёл все улицы одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь один раз. Могло ли такое быть?

         7) В вершине тетраэдра сидит жук. Он хочет проползти по каждому ребру и вернуться в исходную точку. Укажите кратчайший путь жука и найдите длину пути, если ребро тетраэдра равно 1.

Александр Анатольевич Миров, репетитор по математике в Москве.
8-968-423-9589

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы