Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва

Круги Эйлера


          Одними из достаточно популярных на олимпиадах, особенно в 5-м классе, примеров являются задачи на так называемые "круги Эйлера". Некоторые репетиторы на своих Интернет-сайтах опровергают слово "круги", называют их "областями", однако понятие кругов устоялась. И берёт это понятие своё начало из труда величайшего математика, Леонардо Эйлера (1707-1783), швейцарца по происхождению, работавшего в России и в Германии. В одной из его многочисленных работ он описал "круги", которые "очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления". Так, словосочетание "круги Эйлера" вошло в практику. И потому в память об их первооткрывателе не стоит называть их какими-то "областями".
          Почему эти "круги Эйлера" вошли в учебники, в книги по занимательной математике, встречаются на олимпиадах? Потому что эти "круги" представляют собой уникальную схему, позволяющую быстро и легко решать задачи определённого типа. При этом, если задача достаточно простая, предполагающая только два пересекающихся круга, то её зачастую можно решить и не применяя круги Эйлера. Бывает. что с этим справляется и обычный школьник, не готовящий себя к олимпиадам. Но если задача требует трёх пересекающихся кругов, то без схемы Эйлера - без кругов Эйлера, уже не обойтись, поскольку человек бывает не в состоянии запомнить и восстановить в голове без ошибок все подробности условия. Расскажу о чём речь на двух примерах.

         Пример 1.
         Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - значки и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?

          Решение по действиям
         1) Найдём, сколько человек собирают только марки. 35 - 16 = 19 школьников.
         2) Найдём, сколько человек собирают только значки. 23 - 16 = 7 школьников.
         3) Найдём, сколько человек хоть что-то собирают. 19 + 7 + 16 = 42 школьника.
         4) Найдём, сколько человек не увлекается коллекционированием.
52 - 42 = 10 школьников.
         Ответ. 10 школьников не увлекается коллекционированием.

         Теперь выполним рисунок к задаче в виде кругов Эйлера.

марки и значки

          Решение примера 1 с помощью кругов Эйлера

         Как видно, два пересекающихся круга (будем считать, что это круги, а не окружности) образуют собой три замкнутые криволинейные фигуры. В центре - множество тех, кто собирает и значки и марки. Обычно это называют пересечением множеств "М" и "Зн", как множество общих элементов этих множеств. Так как марки (красный круг) собирают 35 школьников, то находим сначала, сколько школьников собирают только марки (т.е. собирая марки, не собирают значки). Их получается 35-16. Аналогично только значки (зелёный круг) собирают 23-16. После того, как эти данные внесены в круги, можно одним действием определить, сколько школьников хоть что-то собирают. Их получается
35 + 23 - 16 = 42. Так как всего школьников 52, то ничего не собирают 10 человек. Эта схема позволяет упростить решение задачи, например, сократить действие 35-16.

         Если эту задачу ещё можно безошибочно решить по действиям, не прибегая к рисунку, то если для решения задачи требуется три пересекающихся круга, то решить её по действиям затруднительно. Поэтому рассмотрим пример 2, где решение выглядит сложнее.

         Пример 2.
         В классе 38 человек. Из них 16 занимаются в секции баскетбола, 17 - в секции хоккея, а 18 - играют в волейбол после школы. Увлекаются только двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, только баскетболом и волейболом - трое, только волейболом и хоккеем - пятеро. Пятеро не увлекаются этими видами спорта. Сколько человек увлекаются тремя видами спорта?

          Решение примера 2 с помощью кругов Эйлера

баскетбол, волейбол, хоккей

         Обратим внимание на то, что иксов у нас один с плюсом и три - с минусом. Значит, осталось сосчитать числа и вычесть из полученного числа 2x, после чего приравнять полученное к 38, не забыв про 5 человек, которые не занимаются этими видами спорта. Так как в условии сказано точно, что только двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем увлекаются четверо, то на пересечении круга "Б" с кругом "Х" и исключая центральную фигуру, где у нас уже стоит x, пишем 4, аналогично заполняем и другие получившиеся фигуры. Теперь запишем в уравнение всё то, что у нас получилось. Так как в синем круге всего 16, пишем в уравнение 16. Прибавляем "5", находящееся на пересечении только двух кругов "Х" и "В". Прибавляем выражения из двух нижних кругов, и прибавляя "5" (пять человек не занимаются спортом) приравниваем всё к 38 (38 человек в классе):
         16 + 5 + 10 + 8 + 5 - 2x = 38.
         44 - 2x = 38.
         Откуда x = 3.
         Таким образом, круги Эйлера помогают наглядно увязать многочисленные данные условия в единую картину и не делая лишних действий составить уравнение. Однако такого рода задачи далеко не всегда требуют уравнения. В данном случае уравнение появилось потому что неизвестной оказалась центральная площадка. В тех же случаях, когда в задачи это известно, её решение сводится только к выполнению простых арифметических действий.

Задачи


         1) В отчете о работе отдела научно-исследовательского института указывалось, что в отделе работают 17 человек, причём 10 из них знают немецкий язык, 13 английский и французский, 2 - немецкий, английский и французский языки. Докажите, что в этих данных имеется ошибка.

         2) При опросе населения выяснилось, что из 100 семей у 78 есть автомобиль, у 85 - компьютер, а у 8 семей нет ни автомобиля, ни компьютера. У скольких семей есть и автомобиль и компьютер?

         3) Кошке Марусе нужно было покормить и помыть 15 котят. Маруся покормила 8 котят и помыла 9 котят. После этого выяснилось, что ровно 5 котят покормлены, но не помыты. Сколько котят не покормлены и не помыты?

         4) На русском, английском и испанском языках в мире говорят 896 млн. человек. На русском и английском языках говорит 651 млн. человек, на русском и испанском языках - 510 млн. человек. Сколько человек говорят на каждом из этих языков?

         5) Большая группа туристов выехала в заграничное путешествие. Из них владеют английским языком 28 человек, французским – 13, немецким – 10, английским и французским – 8, английским и немецким – 6, французским и немецким – 5, всеми тремя языками – 2, а 41 человек не владеет ни одним из трех языков. Сколько туристов в группе?

         6) Контрольная работа по математике в пятом классе состояла из задачи, уравнения и числового примера. Работу писали 36 учеников. Правильно решили только задачу 2 человека, только уравнение – четверо, только пример – семь. Не решили только задачу 8 человек, только уравнение – пять, только пример – три. Остальные ученики выполнили всю работу правильно. Сколько таких учеников?

         7) Среди чисел от 1 до 1000 найдите количество чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5.

         8) Среди чисел от 1 до 1000 найдите количество чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

         9) Все участники поездки владеют, по крайней мере одним иностранным языком. 6 из них владеют английским, 6 - немецким, 7 - французским, 4 - английским и немецким, 3 - немецким и французским, 2 - французским и английским, 1 - французским, английским и немецким. Сколько участников поездки?

         10) Из 100 человек 85 знают английский язык, 60 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?

         11) В поход отправились учащиеся 5-х и 6-х классов. Мальчиков было 16; шестиклассников и шестиклассниц всего 24; пятиклассниц столько, сколько шестиклассников (мальчиков из 6-го класса). Сколько всего детей отправилось в поход?

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.