Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Лицей НИУ ВШЭ
Дополнительное задание по углублённой математике. 2019. Демовариант вступительного теста для специализации "Математика"

          Задание 1. Решите уравнение:
уравнение

          Решение:
решение

          Задание 2. Найдите область определения функции:
функция

          Решение:
Выпишим все ограничения по области определения выражений, входящих в запись функции. Так как в числителе первого корня находится корень, значение которого число неотрицательное, то достаточно учитывать, что знаменатель дроби, стоящей под корнем, должен быть больше нуля.
решение
Нанесём полученные условия области определения функции на ось:
решение
ответ

          Задание 3. Докажите, что при любом натуральном m число m5 + 4m
делится на 5.
          Решение. Преобразуем исходное выражение так, чтобы было видно, что оно кратно 5-ти:
ответ

         Таким образом, мы получили три слагаемых, каждое из которых делится на 5 (первое слагаемое представляет собой произведение пяти последовательных натуральных чисел, а значит, одно из них обязательно делится на 5. Второе и третье слагаемые содержат множитель 5). Значит, и исходное выражение делится на 5.
         Примечание репетитора по математике. Конечно, в данном примере можно расписать таблицу остатков и доказывать делимость с её помощью. Однако во-первых, этот путь, как правило, занимает больше времени, а, во-вторых, далеко не во всех лицеях даже он изучается. Между тем, тема преобразований многочленов входит в программу
7 - го класса любой школы — как математической, так и обычной. Разве что задачи на делимость, как правило, в обычных школах не рассматриваются. Однако в качестве подготовки к вступительному экзамену в лицей при ВШЭ по профилю "математика", необходимо разбирать с учениками и такие примеры, что и делается в рамках курса подготовки на занятиях.

          Задание 4. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются
в точке K. Длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника BKP и площади треугольника AKM.
рисунок к задаче

          Решение. Так как ∠BKP = ∠AKM как вертикальные, то отношение искомых площадей можно записать следующим образом:
отношение площадей

         Таким образом, задача сводится к нахождению произведения отношений:
отношение площадей

         Так как AC = 3 AB, то AM = MC = 1,5x, а AB = x. Значит, по свойству биссектрисы,
по свойству биссектрисы

         Найдём теперь, как относится PK к AK. Для этого применим теорему Менелая для треугольника APC и секущей BM:
применение теоремы Менелая

         Откуда
ответ

         Примечание репетитора по математике. Конечно, здесь можно было действовать по-другому, через отношение площадей треугольников, образованных биссектрисой и медианой. Однако в условиях, когда время на экзамен существенно ограничено, необходимо уметь находить кратчайший путь решения каждой задачи. Вместе с тем, надо отметить то, что те, кто стремятся поступить на математику и выбирают профильным экзаменом именно математику, должны быть знакомы с программой математических школ и лицеев. Поэтому необходимо взять на вооружение теорему Менелая, поскольку в ряде случаев её применение существенно ускоряет решение.

          Задание 5. Из двух городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. После встречи один из них был в пути до города В еще 16 часов, а второй до города А – 9 часов. Определите, сколько времени был в пути каждый автобус.

         Примечание репетитора по математике. Несмотря на то, что задача включена в демоверсию для поступающих на математику в лицей при ВШЭ в 9-й класс, для решения задачи вполне хватит знаний 6-го класса. Похожие задачи нередко встречаются на вступительных экзаменах в различные лицеи, в частности, в лицей 1535. Поскольку похожие задачи уже подробно рассмотрены на моём сайте — например, здесь и здесь, то приведу здесь лишь краткое решение без рисунка и объяснений.

          Решение. Пусть скорость одного автобуса — v1 км/ч, а скорость другого v2 км/ч. Тогда
решение задачи


          Задание 6.
задание 6


          Решение. Построим график:
задание 6
Построим график (ломанная, показанная синим цветом):
график
Прямая y = kx + 2 — это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2).
Если 0 < k < 2, то прямая имеет с ломанной две общие точки.
Если k ≥ 2, то прямая имеет с графиком одну общую точку. На рисунке малиновым цветом обозначена прямая y = 2x + 2, т.е. случай, когда k = 2.
Если k = — 2, то прямая параллельна крайней левой части ломанной и не имеет с графиком общих точек (зелёный пунктир).
Если — 2 < k < 0, то прямая не имеет с графиком общих точек.
Если k < — 2, то прямая имеет с графиком одну общую точку.
Если k = 0, то прямая принимает вид y = 2, т.е. искомая прямая имеет бесконечное множество общих точек с графиком, так как проходит через горизонтальный участок ломанной. Таким образом, ответ на первую часть задания:
Ответ

         В задании также требуется указать координаты точек пересечения прямых и графика для случаев, когда прямая и ломанная имеют одну точку пересечения. Если k ≥ 2, то найдём координаты точек пересечения прямых y = kx + 2 с ломанной. Это будут точки вида (x; 4-2x), где 0 < x ≤ 0,5. Значение x = 0,5 находится для того случая, если прямая параллельна правой части ломанной и пересекает её левую часть, т.е. y = 4 - 2x :
параллельная прямая

         Теперь найдём координаты точек пересечения прямых y = kx + 2 с ломанной для тех случаев, когда k < — 2. Нетрудно заметить, что x в этом случае может принимать отрицательные значения, а y точек пересечения зависит от x. То есть координаты этих точек будут иметь вид: (x, 4 - 2x), где x < 0.
         Таким образом, ответом на второй вопрос задания будут точки вида
ответ

Репетитор по математике 968-4239589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы