|
Дополнительное задание по углублённой математике. 2019. Демовариант вступительного теста для специализации "Математика" Задание 1. Решите уравнение: 
Решение: 
Задание 2. Найдите область определения функции: 
Решение: Выпишим все ограничения по области определения выражений, входящих в запись функции. Так как в числителе первого корня находится корень, значение которого число неотрицательное, то достаточно учитывать, что знаменатель дроби, стоящей под корнем, должен быть больше нуля. 
Задание 3. Докажите, что при любом натуральном m число m5 + 4m делится на 5. Решение. Преобразуем исходное выражение так, чтобы было видно, что оно кратно 5-ти: 
Таким образом, мы получили три слагаемых, каждое из которых делится на 5 (первое слагаемое представляет собой произведение пяти последовательных натуральных чисел, а значит, одно из них обязательно делится на 5. Второе и третье слагаемые содержат множитель 5). Значит, и исходное выражение делится на 5. Примечание репетитора по математике. Конечно, в данном примере можно расписать таблицу остатков и доказывать делимость с её помощью. Однако во-первых, этот путь, как правило, занимает больше времени, а, во-вторых, далеко не во всех лицеях даже он изучается. Между тем, тема преобразований многочленов входит в программу 7 - го класса любой школы — как математической, так и обычной. Разве что задачи на делимость, как правило, в обычных школах не рассматриваются. Однако в качестве подготовки к вступительному экзамену в лицей при ВШЭ по профилю "математика", необходимо разбирать с учениками и такие примеры, что и делается в рамках курса подготовки на занятиях. Задание 4. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K. Длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника BKP и площади треугольника AKM. 
Решение. Так как ∠BKP = ∠AKM как вертикальные, то отношение искомых площадей можно записать следующим образом: 
Таким образом, задача сводится к нахождению произведения отношений: 
Так как AC = 3 AB, то AM = MC = 1,5x, а AB = x. Значит, по свойству биссектрисы, 
Найдём теперь, как относится PK к AK. Для этого применим теорему Менелая для треугольника APC и секущей BM: 
Откуда 
Примечание репетитора по математике. Конечно, здесь можно было действовать по-другому, через отношение площадей треугольников, образованных биссектрисой и медианой. Однако в условиях, когда время на экзамен существенно ограничено, необходимо уметь находить кратчайший путь решения каждой задачи. Вместе с тем, надо отметить то, что те, кто стремятся поступить на математику и выбирают профильным экзаменом именно математику, должны быть знакомы с программой математических школ и лицеев. Поэтому необходимо взять на вооружение теорему Менелая, поскольку в ряде случаев её применение существенно ускоряет решение. Задание 5. Из двух городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. После встречи один из них был в пути до города В еще 16 часов, а второй до города А – 9 часов. Определите, сколько времени был в пути каждый автобус. Примечание репетитора по математике. Несмотря на то, что задача включена в демоверсию для поступающих на математику в лицей при ВШЭ в 9-й класс, для решения задачи вполне хватит знаний 6-го класса. Похожие задачи нередко встречаются на вступительных экзаменах в различные лицеи, в частности, в лицей 1535. Поскольку похожие задачи уже подробно рассмотрены на моём сайте — например, здесь и здесь, то приведу здесь лишь краткое решение без рисунка и объяснений. Решение. Пусть скорость одного автобуса — v1 км/ч, а скорость другого v2 км/ч. Тогда 
Задание 6. 
Решение. Построим график: 
Если 0 < k < 2, то прямая имеет с ломанной две общие точки. Если k ≥ 2, то прямая имеет с графиком одну общую точку. На рисунке малиновым цветом обозначена прямая y = 2x + 2, т.е. случай, когда k = 2. Если k = — 2, то прямая параллельна крайней левой части ломанной и не имеет с графиком общих точек (зелёный пунктир). Если — 2 < k < 0, то прямая не имеет с графиком общих точек. Если k < — 2, то прямая имеет с графиком одну общую точку. Если k = 0, то прямая принимает вид y = 2, т.е. искомая прямая имеет бесконечное множество общих точек с графиком, так как проходит через горизонтальный участок ломанной. Таким образом, ответ на первую часть задания: 
В задании также требуется указать координаты точек пересечения прямых и графика для случаев, когда прямая и ломанная имеют одну точку пересечения. Если k ≥ 2, то найдём координаты точек пересечения прямых y = kx + 2 с ломанной. Это будут точки вида (x; 4-2x), где 0 < x ≤ 0,5. Значение x = 0,5 находится для того случая, если прямая параллельна правой части ломанной и пересекает её левую часть, т.е. y = 4 - 2x : 
Теперь найдём координаты точек пересечения прямых y = kx + 2 с ломанной для тех случаев, когда k < — 2. Нетрудно заметить, что x в этом случае может принимать отрицательные значения, а y точек пересечения зависит от x. То есть координаты этих точек будут иметь вид: (x, 4 - 2x), где x < 0. Таким образом, ответом на второй вопрос задания будут точки вида 
|
 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.
|