Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Демонстрационный вариант вступительного экзамена
в 8-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535. 1 этап

          1) Найти значение выражения:
математическая запись
          Решение:
математическая запись
          На рисунке изображен график движения туриста из города A в город B, причём по дороге им был сделан привал. Определить:
          а) На каком расстоянии (в км) от города A турист сделал привал?
          б) Какой была скорость туриста (в км/ч) после привала?
          в) Какой была средняяскорость движения туриста (в км/ч) при движении из A в B?
график
          Решение: а) ответ: 9; б) 18-9=9, 7-5=2, значит 9:2=4,5 км/ч; в) 18:5=3,6 км/ч.

          3) Привести многочлен (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) к стандартному виду/
          Решение: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p2-16)-p(p2-p-16)=p3+3p2-16p-48-p3+p2+16p=4p2-48

          4) Найти корень уравнения выражения: 815 : x=417 · 26
          Решение:
математическая запись
          5) Пользуясь данными рисунка найти градусную меру угла α
Найти градусную меру угла
          Решение: 136°+44°=180°, значит, прямые параллельны. Следовательно, ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, значит, ∠α=180°-44°-56°=80°.

          6) Чему равен корень уравнения
математическая запись
          Решение: умножаем все слагаемые на 30, знаменатели сократятся:
математическая запись
          7) Найти значение числового выражения:
математическая запись
          Решение:
математическая запись
          8) Если одну из смежных сторон квадрата уменьшить на 2 см, а вторую - увеличить на 6 см, то получится прямоугольник, площадь которого равна площади прямоугольника, который получится из того же исходного квадрата, если одну из его смежных сторон не изменять, а другую увеличить на 3 см. Чему (в квадратных сантиметрах) равна площадь исходного квадрата?
          Решение. Пусть x - сторона квадрата. Составим уравнение:
(x-2)(x+6)=x(x+3);
x2+4x-12=x2+3x;
x=12
Площадь исходного квадрата равна 12 · 12=144 см2.
          9) Задать формулой линейную функцию, график которой в системе координат 0xy проходит через точку Т(209,908) и не пересекается с графиком уравнения 9x+3y=14
          Решение. Перепишем уравнение в виде
математическая запись
          Формула линейной функции вобщем виде y=kx+b. Если график искомой не пересекается с графиком данного уравнения, значит k=-3. Следовательно, 908=-3 · 209 + b, откуда b=1535.
Формула искомой линейной функции: y=-3x+1535

          10) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45 % меди. Сколько килограммов чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40 % меди?
          Решение. Если в сплаве меди с оловом 45 % меди, то значит, в нем 55 % олова. Если в новом сплаве 40 % меди, значит, в нем 60 % олова. Пусть x - количество кг чистого олова, которого надо прибавить к сплаву. Составим уравнение:
0,55 · 24 + x = 0,6 (x+24)
x-0,6x=0,6 · 24- 0,55 · 24
0,4x=0,05 · 24
x=3
Ответ: 3 кг.
          Примечание репетитора по математике: подробнее о методах решения задач на сплавы и смеси можно почитать в статье Преимущества и недостатки различных методик решения задач на сплавы и смеси

          11) По данным рисунка, на котором изображены графики двух линейных функций и парабола, найти абсциссу точки T.
график
          Решение. Прямая y=5x и парабола y=x2 пересекаются в двух точках. Найдем абсциссы этих точек с помощью уравнения 5x=x2. Отсюда x1=0; x2=5. Значит, ордината точки пересечения равна 25
Прямая, на которой лежит точка T, проходит через точки с координатами (5;25) и (0;27). Уравнение прямой в общем виде: y=kx+b. Подставляя вместо x и y координаты точек прямой, получаем систему уравнений:
математическая запись
математическая запись
Точка T имеет ординату, равную нулю. Следовательно
математическая запись
Ответ. 67,5.

          12) Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два объекта. Первый объект к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второй, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найти длину трассы в метрах, если второй объект возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
          Примечание. В Интернете можно встретить сайты, где такого рода задачи решаются квадратным уравнением. Между тем, данная работа предназначена для поступающих в 8-й класс. То есть решать эту задачу, зная квадратное уравнение, которое проходят в 8-м классе, некорректно. Ни к чему пременять программу 8-го класса для решения задачи, адресованной семиклассникам. Ниже представлено решение, которое не требует квадратного уравнения
          Решение. Пусть t - время до встречи объектов, v1 - скорость первого объекта, v2 - скорость второго объекта.
Тогда v1 · t - v2 · t = 100, так как на момент встречи первый объект прошел на 100 м больше. Так как v2t - путь, который прошел 1-й объект после встречи, v1 - его скорость и вернулся он в точку А через 9 минут, то можно составить уравнение
математическая запись
Аналогично
математическая запись. Три уравнения образуют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными:
математическая запись
Поделим 1-е уравнение на 2-е. Получится:
математическая запись
откуда
математическая запись
Таким образом,
математическая запись
Подставив это выражение в первое уравнение, получим t=12 мин
математическая запись
Подставив последнее выражение и t=12 в третье уравнение системы, получим:
математическая запись
отсюда
математическая запись
Согласно условию длину трассы в метрах можно определить, сложив путь первого объекта до встречи и путь второго объекта до встречи. То есть
математическая запись
Ответ. 700 метров

          13) На стороне ML квадрата MNKL построен равносторонний треугольник MPL, причём точка P расположена внутри квадрата. Найти градусную меру угла LPK.
          Решение
рисунок к задаче
По условию ML=PL=KL; треугольник PLM - равносторонний, значит, все углы равны 60°, значит, ∠ PLK=30°. Таким образом, ∠LPK=(180°-30°) : 2=75°.

          14) Разложить на множители: (решения написаны сразу же)
математическая запись
математическая запись
математическая запись
Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.