Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва

Мотоциклист и велосипедист:
5 способов решения одной типовой задачи


"Если обучать лишь механическому выполнению
шаблонных математических операций, то это значит,
опуститься ниже уровня поваренной книги,
ибо кулинарные рецепты всё же оставляют повару
возможность проявить свой вкус и воображение,
чего не допускают математические рецепты"
Дьёрдь Пойа,
венгерский, швейцарский и американский математик

"Предлагая ученику решать разные задачи одним
и тем же способом - это всё равно,
что предлагать ему плоскогубцы и для забивания гвоздя
и для закручивания винтов - можно, но не эффективно.
Задача хорошего репетитора по математике,
как и хорошего школьного учителя -
научить решать задачи, для чего важно уметь
побуждать учеников к поиску различных способов решения,
а не предлагать им копировать один и тот же способ,
основанный далеко не на самой эффективной идее."
Александр Миров,
репетитор по математике


         Если одной из целей индивидуальных занятий является прививание интереса к математике, то можно рассмотреть на одном занятии сразу несколько способов решения достоточно известной по ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ задачи про мотоциклиста и велосипедиста. Кроме того, на занятии можно рассмотреть один-два способа и предложить ученику подумать над другими способами дома. При этом важный вопрос состоит в том, чтобы предоставить ученику выбор способа решения, для чего необходимо знать всевозможные способы и, кроме того, поощрять ученика в самостоятельном поиске решения. Однако опыт показывает, что так поступают далеко не все репетиторы. Более того, некоторые репетиторы навязывают ученикам далеко не самые эффективные способы решения достаточно простых типовых задач. Мне представляется, что это в корне неправильно, поскольку первейшая задача репетитора - научить ученика думать и самостоятельно находить наилучшие способы решения в каждом конкретном случае.
          Предлагая ученику решать разные задачи одним и тем же способом - это всё равно, что предлагать ему плоскогубцы и для забивания гвоздя и для закручивания винтов - можно, но не эффективно. Задача хорошего репетитора по математике, как и хорошего школьного учителя - научить решать задачи, для чего важно уметь побуждать учеников к поиску различных способов решения, а не предлагать им копировать один и тот же способ, основанный далеко не на самой эффективной идее. Решение текстовых задач по математике - это своего рода творчество для мозга, не терпящее никаких догм вроде единого инструмента для решения различных задач.

         Некоторые ученики полагают, что чем меньше условий в задаче, тем сложнее найти правильное решение. Однако это не так. Зачастую это выполняется с точностью до наоборот. В этой статье я приведу несколько способов решения одной типовой текстовой задачи.
         Задача 1. Из города А в город Б выехал мотоциклист, а из города Б
в город А навстречу мотоциклисту выехал велосипедист. Мотоциклист приехал в город Б на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в А. Встретились они через 4 часа после выезда. Сколько часов затратил на путь из города Б в город А велосипедист?


         Сделаем рисунок:
схема


          В - точка встречи. Красным цветом показано движение мотоциклиста, а синим - движение велосипедиста.

         1-й способ. Одно уравнение с двумя взаимно обратными переменными, легко заменяемыми на одну. S вообще не требуется. Переменная - отношение скоростей. Если скорость мотоциклиста - Vм (км/ч), а Vв (км/ч) - скорость велосипедиста, то до встречи первый проехал 4Vм (км), а второй - 4Vв (км). Соответственно, расстояние от А до В равно 4Vм (км), а расстояние от Б до В равно 4Vв (км). После того, как мотоциклист отправился из В в Б, его время можно найти отношением расстояния ВБ к его скорости, а время велосипедиста соответственно равно отношением АВ к его скорости. Поскольку велосипедист затратил времени на 6 часов больше, чем мотоциклист, то можно составить уравнение:
уравнение

решение уравнения


         Это наиболее простой и напрашивающийся способ решения задачи, если за неизвестные переменные принимать скорости мотоциклиста и велосипедиста.

         2-й способ. Два уравнения с двумя неизвестными и принятием пути равным 100 км. Этот способ приводит один репетитор по математике в своём видеоуроке. Он также принимает в качестве переменных скорости мотоциклиста и велосипедиста (соответственно x и y), а расстояние между А и Б принимает равным 100 км, т.е. даже не за единицу, как обычно. Позволю себе не решать здесь эту задачу этим способом, а привести только исходную систему двух уравнений, составленную им по этой задаче, а также квадратное уравнение, к которому приводит составленная им система и проанализировать решение.
система двух уравнений с двумя неизвестными

Решая эту систему, он получает следующее квадратное уравнение:
квадратное уравнение
D=1252

В результате у уравнения получаются два корня:
два корня уравнения

Первый корень - посторонний (так как не удовлетворяет второму уравнению системы), а время, получаемое делением 100 км на второй корень, равно - 12 часов.
         Остаётся только догадываться, почему этот репетитор по математике приводит столь сложное и запутанное решение несложной задачи, тем более, что давно известны довольно простые способы её решения. Следует отметить также, что как показывает опыт работы с отстающими учениками, чем сложнее решение, тем больше вероятность их ошибки. Мыслимо ли дело, предлагать ученику решать уравнение с достаточно большими числами вроде следующего:
сложный способ решения
И где? В задаче, где числа в условии не более десятка. А потом, получив невообразимо большой дискриминант:
дискриминант
для того, чтобы хоть как-то упростить своё сложное решение, возникшее из-за эксплуатирования им всего лишь одной идеи о том, что при движении навстречу скорости складываются, он со словами "без всякого напряга, без всякого умножения столбиком" раскладывает дискриминант на множители для того, чтобы получить полный квадрат, даже не задумываясь о том, что решение этой задачи вообще не требует никакого умножения столбиком, равно как и раскладывания дискриминанта на множители, чтобы потом извлечь из него квадратный корень. Показывая неплохую технику преобразований, он, тем не менее, продемонстрировал неумение найти простое решение несложной задачи. Непонятно только, к чему создавать себе трудности там, где их нет? И какова его методическая установка - большой вопрос. Ведь если репетитор и не ошибётся нигде в решении задачи столь сложным способом, то не ошибётся ли ученик, решающий задачу таким способом - большой вопрос.

         3-й способ. Одно уравнение, x - искомое время, а путь принимается за единицу. Можно принять за x (ч) – время, которое затратил велосипедист на весь путь, а время мотоциклиста на весь путь - x-6 (ч). Тогда
решение задачи третьим способом


         4-й способ. Два уравнения с тремя неизвестными. Интересно, что к квадратному уравнению, описанному в 3-м способе можно прийти и несколько другим рассуждением. Пусть x (ч) - время, которое затратил на весь путь велосипедист, а (x-4) (ч) - время, которое он затратил на путь из В в А (т.е. на путь после встречи). Тогда мотоциклист затратил на путь из В в Б (т.е. на путь после встречи) - (x-10) (ч). Поскольку путь мотоциклиста на участке из В в Б равен пути велосипедиста на том же участке, составим уравнение: 4vв = vм(x - 10). Аналогично получаем другое уравнение:
vв(x - 4) = 4vм. Выполнив преобразования, получаем несколько другое исходное уравнение, а применяя основное свойство пропорции, приходим к тому же квадратному уравнению, что и в способе 3. Для наглядности приведу и систему двух уравнений с тремя неизвестными, из которой получается достаточно простая пропорция, из которой легко получается квадратное уравнение.
решение задачи третьим способом



         5-й способ. Геометрический метод (метод подобия). В настоящее время этот метод всё более и более становится популярным. Изобретённый ещё в советское время и описанный в периодике 1970-х гг. (например, статья Б. Кордемского "Графики в задачах на равномерные процессы" (№ 11 журнала "Квант" за 1971 г.)), он становится, почти что критерием профессионализма репетиторов по математике. Его приводят репетиторы, учителя математики в качестве лёгкой альтернативы алгебраическим методам. При этом главным преимуществом этого метода считается то, что нет необходимости вводить несколько переменных. Между тем, важно отметить, что уравнение подобия, получаемое по рассматриваемой нами задачи - это, прежде всего, пропорция, которую нетрудно получить и привычным для ученика способом. А значит, метод подобия – это главным образом иллюстрация, пусть и достаточно наглядная, но не метод как таковой. Другими словами, то уравнение, которое получается из графического метода, вполне можно получить проще, не прибегая к рисунку. Для подтверждения этого рассуждения, сделаем графическую интерпретацию данной задачи и покажем, что максимум того, что можно получить из геометрического метода, мы легко получили приёмом, описанном в способе 4.
графический способ
Здесь: АБ1 - весь путь мотоциклиста, БА1 - весь путь велосипедиста. В - точка встречи мотоциклиста и велосипедиста. АN=БM=4 часа - время, которое проехали и мотоциклист и велосипедист до встречи, X-4 - время велосипедиста после встречи, X-4-6=X-10 - время мотоциклиста после встречи, MВ - путь велосипедиста до встречи, равный пути мотоциклиста после встречи, ВN - путь мотоциклиста до встречи, равный пути велосипедиста после встречи.

         Треугольник БMВ подобен треугольнику ВNА1 по двум углам. Треугольник MБ1В подобен треугольнику АВN по двум углам. Значит,
метод подобия


         Как видно, большинство рассмотренных здесь способов решения одной задачи основаны на методе введения переменных, находить которые не нужно, но которые нужны для составления уравнений по задаче.

         Может возникнуть вопрос, а зачем рассматривать столько способов решения задачи? Что могут они дать ученику помимо убеждения его в том, что некоторые задачи можно решить разными способами и разными способами получить правильный ответ? Дело в том, что знание различных способов учит ученика умению быстро ориентироваться в неожиданных условиях задач и составлять простые уравнения наиболее быстро приводящие к решению. Знание нескольких методов со временем формирует у ученика чутьё - одну задачу легче решить одним способом, другую - другим. Если же ученик знает только один способ и не имеет представления о других, то решая задачу отнюдь не самым рациональным способом, ему легко ошибиться и потерять кучу времени, что особенно важно на экзамене, время которого ограничено. Об этом подчас забывают и некоторые репетиторы, предлагающие отнюдь не самые простые способы решения различных текстовых задач.
         Чтобы не быть голословным, приведу пример похожей задачи, которую один репетитор (автор способа 2 для решения предыдущей задачи) называет сложной и решает достаточно сложной системой двух уравнений с двумя неизвестными, тогда как один шестиклассник, занимавшийся со мной, легко решил её практически без подсказок. Почему эта задача была предложена мной шестикласснику? Дело в том, что похожие задачи приводятся в учебных пособиях для шестого класса. И уже этот факт не позволяет причислить её к числу сложных. Итак, задача:

         Задача 2. Из двух городов А и Б одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. Когда они встретились, то рассчитали, что первому потребуется ещё 4 часа 30 минут, чтобы добраться до города Б, а второму ещё 2 часа, чтобы добраться до города А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между городами А и Б равно 30 км.

         Решая эту задачу в своём видеоуроке, этот репетитор использует всего одну идею о том, что при движении навстрчу, скорости складываются. За x и y он принимает скорости пешеходов, x + y - "совместная" скорость, т.е. скорость сближения и в результате приходит к системе:

система

Дальше он приводит дроби к общему знаменателю и путём довольно сложных выкладок приходит сначала к тому, что 2y=3x. Затем подставляет это в одно из уравнений системы и таким способом в конце концов получает ответ. Объявив эту задачу сложной он решает её чрезвычайно сложным способом.

          Казалось бы, как такую задачу решать в шестом классе? Однако ученик, способный составлять уравнения, вполне может решить задачу более простым способом. Уже сами числа 4,5 и 2, точно также, как, например, 9 и 4, подсказывают, что задачу можно решить куда более простым способом и даже в уме при наличии достаточной тренировки. Действительно, отношение этих чисел (4,5 и 2) является точным квадратом, что существенно облегчает решение. Надо также отметить, что стоит ученику хотя бы раз попытаться самому составить такого рода задачу, как он поймёт, почему это свойство облегчает её решение и почему в подобных задачах числа обладают этим свойством.

          Если принять, что первому пешеходу от места встречи до конца маршрута осталось пройти 4,5v1 (км), так как после встречи первому пешеходу понадобится 4,5 часа, а второму от места встречи до конца его маршрута осталось пройти 2v2 (км), то и то и другое будут расстояния, которые прошли соответственно второй и первый пешеходы до встречи. Выразив время каждого до встречи, и помня о том, что согласно условию, это одно и то же время, составим уравнение:
уравнение



         Так как расстояние между А и Б равно 30 км, то
уравнение

Подставив в это уравнение полученное выражение v2=1,5v1, получим, что v1=4 (км/ч), а v2=6 (км/ч).

         Таким образом можно сделать вывод, что ученик, владеющий несколькими приёмами составления уравнений, вполне может выбрать самый простой способ решения задачи, наиболее удобный в каждом конкретном случае. А если такие способы ему не преподаются в школе или на индивидуальных занятиях с репетиторами, если ученик убеждён в том, что существует всего лишь один способ решения тех или иных похожих друг на друга текстовых задач, то математика ему будет казаться сложной наукой, и он так и не сумеет почувствовать всю её красоту.

         Может возникнуть вопрос, а зачем рассматривать решение задачи другим способом, если она уже решена и получен правильный ответ? Если репетитор готовит к экзамену, натаскивает ученика по школьной программе, то, наверное, и незачем терять время на рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи. Но если цель перед репетитором ставится несколько иная, а именно научить мыслить, научить составлять уравнения для решения текстовых задач, то просто-таки необходимо задаваться вопросом, а как решить ту или иную задачу иначе. Важно дать понять ученику, что очень многие текстовые задачи по математике могут решаться совершенно разными способами, и что в выборе способа хороший педагог, - как школьный учитель, так и репетитор, никогда не ограничивает ученика.

© Александр Миров

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.