Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Некоторые приёмы рациональных преобразований.
Как заинтересовать школьников алгеброй
.
          Те, кто учился в 6-м классе по классическому учебнику Виленкина, наверняка помнят задания, в которых предлагается не просто выполнить действия, но и решить пример наиболее рациональным способом. И таких примеров по этому учебнику довольно много. В некоторых последних учебниках для 6-го класса такие примеры также есть, но вот в учебниках алгебры примеры подобного рода чаще всего отсутствуют. Что же, примеры 7-9 классов можно решать только каким-то одним способом? На самом деле, это далеко не так. Другое дело, что в учебниках 7-11 классов этому совсем не уделяется внимания, отчего даже некоторые репетиторы не имеют понятия о таких способах.
         Однако как быть, если время, которое даётся поступающему в какой-нибудь лицей на вступительном экзамене ограничено? Например, на решение 10-ти заданий по математике на вступительном экзамене для поступающих в лицей НИУ при ВШЭ даётся всего 40 минут.
         Отсюда вывод. Необходимо учить учеников не только решать примеры, но и решать их наиболее рациональными способами! В этой статье хотелось бы остановиться на некоторых из них. В действительности, таких приёмов может быть несколько. Порой сами ученики в состоянии разобраться в примерах по какой-либо теме и потом уже продемонстрировать на занятии свои наработки. Такие случаи у меня бывали на занятиях с учениками. Важно только заинтересовать учеников "быстрой математикой".
         Рассмотрим несколько примеров, которые можно выполнить быстрее, чем их обычно решают в школе.
         Чтобы было понятно, о чём речь, приведу сначала самый простой приём:

Умножение двучленов

умножение двучленов

         В учебниках предлагается решать примеры такого рода строго по формуле:

умножение двучленов

         Предполагается, что двучлены могут быть совершенно разных степеней. Однако наиболее часто встречается вариант, когда наибольшая степень обоих двучленов равна единице, как в Примере 1. Как можно перемножить эти двучлены? Зная, что в результате должен получиться трёхчлен, где есть x2, x и свободный член, перемножаем сначала те одночлены, которые дают x2, затем две пары, которые дают X и сразу же приводим подобные слагаемые и, наконец, те, что дают свободный член. Для понимания приёма наши действия показаны в красных скобках:
умножение двучленов

         На первый взгляд может показаться, что запись достаточно сложная. Однако в действительности, стоит научиться мыслить таким способом, как может получиться реальное сокращение времени, затрачиваемого на выполнение подобных примеров. Почему? Да потому что этот приём сокращает запись. Например, одна моя ученица, перемножая
умножение двучленов
машинально написала целую лишнюю строчку в уравнении, умножая по формуле из учебника, объясняя тем, что по-другому в школе не учат, и она не умеет. Между тем, вооружившись рассматриваемым приёмом "быстрой математики" лишняя строчка совсем не нужна. Действительно, сразу получается x2, затем 3x и, наконец, 2. То есть:
умножение двучленов

Приведение подобных слагаемых

приведение подобных слагаемых в уравнении

         Это уравнение из решения задачи на совместную работу из Демоварианта для поступающих в 9-й класс лицея НИУ ВШЭ.
         Как учат в школе? Обычно сначала переносят все слагаемые влево (одна строчка), потом приводят подобные слагаемые (вторая строчка), затем зачастую умножают на -1 для того, чтобы коэффициент при x2 был положительным (третья строчка). На все эти операции теряется некоторое время, а между тем все эти три строчки из указанных вовсе не нужны. Действительно, для того, чтобы получить положительный коэффициент при x2 вовсе необязательно всё переносить влево. Кто вообще решил, что слагаемые в квадратном уравнении всегда надо переносить влево? Лучше переносить все слагаемые в ту часть уравнения, где x2 получится положительным. Кроме того, попутно можно выполнить действия. На все эти операции нужна всего лишь одна строчка. Рассуждать можно следующим образом. Мысленно всё переносим вправо, где положителен x2, но пишем следующую строчку слева-направо. На первом месте 4x2. Других слагаемых с x2 у нас нет. Теперь смотрим все слагаемые с x слева и справа, считаем всё сразу и в расчёте на то, что результат будет справа, пишем следом за 4x2 - 11x (слева 16x, справа 5x. В результате справа получаем - 11x). То же самое делаем с числом: слева у нас 24, справа - 21. При переносе 24 вправо, получаем -45. Таким образом, минуя три ненужные строчки получаем квадратное уравнение:
приведение подобных слагаемых

         Этот способ особенно эффективен, когда слагаемых достаточно много. Вместо подчёркивания подобных слагаемых, сразу же выполняются действия с подобными слагаемыми и пишется результат.


Преобразование алгебраических дробей


         Обычно считается, что примеры на преобразование алгебраических дробей — одни из самых сложных и неприятных для школьников. Причём чем длиннее пример, тем больше сложностей он вызывает. Однако на моём опыте нередко бывало так, что те ученики, кто однажды увлеклись "быстрой математикой", с большим удовольствием решают такие сложные примеры, особенно если эти примеры таковы, что позволяют найти какой-то свой метод решения. В самом деле, никто не запрещает решать сложные примеры разными способами. В этом, пожалуй, и состоит красота математики, что каким бы способом не решался пример, при правильном решении всегда получаются одинаковые результаты. А если ученику удалось найти свой собственный способ решения, то это переходит в увлечение математикой, что хорошо развивает его творческое начало.

преобразование алгебраических дробей

         
         Это пример из Демоварианта для поступающих в 9-й класс лицея НИУ ВШЭ.
          Кажется, в этом примере не так уж и много вариантов решения. Однако этот пример по-своему поучителен. Действительно, прежде чем выполнять действия, я рекомендую школьникам внимательно посмотреть на пример целиком и наметить наиболее оптимальный план действий. Первым делом школьники обращают внимание на то, что в числителе дроби в первой скобке есть формула сумма кубов и сразу же бросаются раскладывать числитель по этой формуле. Однако в данном примере можно действовать иначе. Вслед за формулой "сумма кубов" легко заметить, что при приведении к общему знаменателю в первой скобке c3 сократится. А значит, проще не раскладывать по формуле, а сразу же приводить к общему знаменателю. Тем более, что в случае раскладывания на множители по формуле "суммы кубов" и дальнейшего сокращения, всё равно придётся приводить к общему знаменателю.
         Кажется, что это не намного упрощает решение. Однако знание рациональных методов решения порой может сэкономить до 10-ти минут. Не верите? Рассмотрим наглядный пример.

арифметический квадратный корень. Преобразования

         Требуется выполнить действия, то есть упростить.
         Этот пример приводит один репетитор по математике в своем видеоуроке. Решает его он следующим образом:
арифметический квадратный корень. Преобразования

         Этот репетитор, в отличие от некоторых других, не отвлекается на разговоры о жизни, не пытается импровизировать, однако решение этого примера заняло у него 16 минут. А если для поступления в лицей при НИУ ВШЭ на все 10 заданий по математике отводится примерно 40 минут, то о какой сдаче какого-либо экзамена может идти речь, если решать такие примеры столь нерациональными методами, что называется "в лоб"? Да после такого решения, у школьников скорее всего возникнет отвращение к математике.
         Может показаться невероятным, но этот пример имеет более простое и быстрое решение. Для этого необходимо знать основные правила быстрых преобразований, а также, желательно иметь и некоторые собственные наработки.
         Рассмотрим основные правила быстрого и рационального решения подобных примеров.
         1) Переписывать или не переписывать пример или какое-либо его действие — это вопрос оформления. Можно, например, обозначив каждое действие цифрами, поверх примера, написать только эту цифру вместо переписывания. Если проверяется только ответ, а не решение, как это практикуется при поступлении в лицей при НИУ ВШЭ, то уместно действие не переписывать.
         2) При первом взгляде необходимо проанализировать весь пример целиком, посмотреть, какие выражения в него входят. Возможно что-то заметить и прикинуть в уме. Это могло бы избавить от лишних ненужных действий. Дело в том, что необходимо решить пример целиком, а не раскладывать "до винтиков" его отдельные части. Значит, надо наметить какие-либо связи между выражениями, входящими в пример, для того, чтобы выполнить его максимально рационально. К сожалению, этот этап часто пропускают не только ученики, но как выясняется, и репетиторы. О чём идёт речь?
         В первых двух дробях первой скобки присутствуют выражения:

выражение с корнем

         При приведении двух первых дробей к общему знаменателю, легко заметить, что выражения с корнем исчезают. В знаменателе можно применить формулу разность квадратов, а в числителе — формулу, которую легко запомнить или вывести. Эта формула не является общепринятой, но полезно запомнить правило
:
       Если из квадрата суммы двух чисел вычесть квадрат разности этих же чисел, то получается их учетверённое произведение (два удвоенных).
         Если из квадрата разности двух чисел вычесть квадрат суммы этих чисел, то получится учетверённое произведение этих чисел со знаком "минус".
         Если сложить квадрат суммы двух чисел с квадратом разности этих чисел, то получится удвоенная сумма квадратов этих чисел.
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
(a - b)2 - (a + b)2 = - 4ab
(a + b)2 + (a - b)2 = 2 (a2 + b2)

         Все три формулы легко выводятся, и легко понимаются, а при решении примеров их полезно помнить потому что они реально сокращают время решения — не требуется лишняя писанина. Всё это очевидно, однако упомянутый выше репетитор этого не знает, да ещё и преобразовывает такие выражения самым сложным способом — у него получается 4 слагаемых в каждой скобке, то есть всего восемь, тогда как даже хотя бы возвести в квадрат и сумму, и разность — получится шесть слагаемых.
         Анализируем дальше. Учитывая то, что из двух первых дробей получится точно такой же числитель, как и третье слагаемое в этой скобке, делаем вывод, что вовсе необязательно приводить его к общему с первыми двумя дробями знаменателю.
         Во второй скобке смотрим сначала на выражения с квадратным корнем и замечаем, что квадратный корень при преобразовании в числителе полностью исчезает, а в знаменатели с корнем остаётся одночлен.
         Из всего этого делаем вывод, что раскладывать на множители выражение (a-1) совсем не нужно, так как в обоих скобках есть только (a-1) и нет двучленов с корнем. В итоге, получается, что пример решается достаточно быстро:

простое решение

         Может показаться, что примеры, в которых могут быть задействованы правила, приведённые в жёлтой рамке, встречаются нечасто. Однако на самом деле, примеры, в которых могут быть использованы эти правила, в разных вариациях достаточно часто бывают на различных экзаменах, а также в сборниках задач для поступающих в ВУЗы. Например, следующий пример есть в сборнике задач для поступающих во ВТУЗы (п/р Сканави - издание 1997 г.):

аналогичный пример
Правила, обозначенные в жёлтой рамке можно применить также для решения примера из демоварианта для поступающих в ЗФТШ:
простое решение
А такой
простое решение
присутствует в билете для поступающих в Санкт-Петербургской государственный горный институт им. Г.В. Плеханова (технический университет).

         На этой странице приведены далеко не все приёмы "быстрой математики", поскольку целью настоящей статьи было показать, что такие есть, а не привести их полный список. У меня есть опыт, когда мои ученики, узнав об этом, заинтересовывались, казалось бы, "скучными" примерами на преобразования и даже находили свои собственные приёмы, то есть начинали творчески подходить к решению таких примеров. И они очень сожалели, что ничего такого в школе, как правило, не изучают. Учителя в лучшем случае не обращают на это никакого внимания, а в худшем — требуют писать все действия зачастую излишне подробно, а если ученики не пишут подробно, то учителя подозревают их в списывании. Всё это приводит отнюдь не к улучшению знаний, а совсем наоборот — к падению интереса у школьников к математике. Как показывает мой многолетний опыт, встречаются учителя, которые очень плохо относятся к тем ученикам, которые делают что-то не так, как рекомендует делать школьный учитель. Между тем, приёмы "быстрой математики" бывают очень полезны на различных экзаменах в тех случаях, когда время на выполнение заданий ограничено. А на вступительных экзаменах в лицеи и сильные школы оно всегда ограничено, подчас 3-4 минутами на задание. Кроме того, знание подобных методов действительно развивает интерес к математике. И это проверено на опыте моих занятий со школьниками.

© Александр Анатольевич, репетитор по математике в Москве, 8-968-423-9589

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы