Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Лицей НИУ ВШЭ
Демовариант вступительного теста в 9-й класс по математике (2019-й год) с рациональными решениями и комментариями репетитора по математике.

         Примечание репетитора по математике Поскольку на этот тест по математике на вступительном экзамене отводится примерно 40 минут, то в процессе подготовки к экзамену следует не просто научить поступающих решать такие задания, но и научить их решать ох наиболее рациональными способами. Поэтому в примечаниях даются пояснения по поводу того, как ускорить решение, как затратить на него как можно меньше времени. Поскольку на экзамене проверяются только ответы, то исходное задание можно не переписывать, чтобы не терять на это время. Но этого мало. Необходимо научиться решать задания наиболее рациональными способами.

          1) Вычислите:
выражение

          Решение:
решение

         Примечание репетитора по математике. Поскольку второе действие в этом примере — умножение, то лучше выполнить действие в скобках сразу в неправильных дробях.

          2) На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на 30 %, а другое — на 20 %?
          Решение: Выразим произведение двух чисел, как XY. Тогда произведение с увеличенными значениями чисел X и Y запишется так:
решение
Значит, произведение двух чисел увеличилось на 56 %.

          3) Найдите значение выражения:
выражение

          Решение:
решение

          4) Найдите расстояние от точки пересечения прямых
уравнения прямых
          до оси ординат.

          Решение:
уравнения прямых

          Примечание репетитора по математике: Если бы у какого-то другого примера в ответе получилось бы -4, то ясно, что в ответ надо записать 4, так как в ответе надо записать расстояние, а расстояние не может быть отрицательным.
          Пояснение репетитора по математике: Конечно, для решения подобных заданий можно всегда схематично рисовать в одной системе координат графики этих функций. Однако прорешав в процессе подготовки несколько таких заданий, приобретается навык в их решении, благодаря которому всё здесь становится понятно и прозрачно и без рисования графиков. Ну, а поскольку время на решение варианта по математике очень небольшое, то необходимо экономить время и не рисовать графики в том случае, если всё понятно и без них.

          5) В корзине лежат 40 плодов: яблоки и груши. Известно, что среди любых 18 плодов имеется хотя бы одна груша, а среди любых 24 плодов имеется хотя бы одно яблоко. Сколько груш в корзине?
          Решение: Нетрудно заметить, что яблок в корзине не более 17-ти, а груш — не более 23. Так как 17 + 23 = 40, то груш в корзине 23.

          6) Упростите выражение:
выражение

          Решение:
решение

          Примечание репетитора по математике: Решая такие примеры на экзамене порой бывает полезно приглядеться ко всему примеру и, подобно шахматисту, просчитывающему ходы, определить для себя наиболее рациональный порядок действий. Например, в данном примере в первой скобке в числителе дроби просматривается формула сумма кубов. Порой школьники, да и некоторые репетиторы только формулы и видят и сразу же раскладывают по формуле, вместо того, чтобы просмотреть пример дальше. Поскольку в первой скобке необходимо привести всё к общему знаменателю, то нетрудно заметить что c3 при этой операции сократится. Значит, вовсе необязательно раскладывать по формуле сумма кубов. Сразу привести к общему знаменателю — получится короче, а значит, быстрее.
          Ответ: 3.

          7) В равнобедренном треугольнике ABC заданы длины основания AC = 6, и боковой стороны AB = 5. Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне
треугольник

          Решение: Дано: AC=6, AB=BC=5
проводим высоту
         Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой треугольника, то из треугольника BHC по теореме Пифагора находим высоту BH:
решение

         Так как AF — высота, проведённая к BC, то площадь нашего треугольника можно найти через боковую сторону BC и AF:
решение
Значит,
решение

          8) В бассейн проведены две трубы. Время, за которое наполняет бассейн только первая труба, на 3 часа меньше времени, за которое наполняет бассейн вторая труба, работая отдельно. Сначала, в течение 1 часа 45 минут только первая труба наполняла пустой бассейн, а затем открыли вторую трубу. Обе трубы работали ещё два часа и наполнили бассейн. За какое время (в часах) наполнится бассейн, если включить только вторую трубу?
          Решение: Пусть первая труба, работая отдельно, наполняет бассейн за X часов, тогда вторая труба, работая отдельно, заполняет бассейн за (X + 3) часа. Примем объём бассейна за единицу. Тогда производительность первой трубы:
производительности труб

          Примечание репетитора по математике: Трудно понять тех репетиторов, которые решают такие задачи только по однажды заученному нерациональному шаблону. При условии, когда на решение всего варианта отводится не более 40 минут, эти репетиторы предлагают решать такие задачи... системой двух уравнений с двумя неизвестными, причем на каждое уравнение рекомендуют составлять таблицу. Кроме того, несмотря на то, что в задачах на работу в большинстве случаев требуется найти время, а не производительность трубы, и того, что в условии говорится о времени, а не о производительности, некоторые репетиторы в любом случае за X принимают производительность. Трудно себе представить, чтобы ученик на экзамене решал задачу на работу столь нерациональным способом, особенно учитывая то, что время на математику на этом экзамене ограничено до 40 минут. Пользуясь столь нерациональными методами, на решение одной такой задачи ученик может потратить минут 20, что недопустимо. Поэтому важно научить учеников решать задачи рациональными способами, отнимающими как можно меньше времени.

         Из условия известно, что первая труба работала одна в течение 1 часа 45 минут. Переводим часы и минуты в часы. Получаем 7/4. Умножив эту дробь на производительность первой трубы получим объём работы, которую выполнила первая труба, накачивая бассейн водой, за это время. Таким образом, первая труба, работая одна, наполнила такую часть бассейна:
решение задачи
         Значит, первая труба может наполнить весь бассейн за 5 часов, а вторая труба — за 8 часов.
          Ответ: 8.

          уравнение
          Решение:
решение

          10) На доске записаны два последовательных натуральных числа. Известно, что сумма цифр каждого из них кратна 10. Какое минимальное значение может принимать сумма записанных чисел?

          Решение: Перебрав в уме несколько простых вариантов, например 91 (сумма цифр кратна 10-ти), 92 (сумма цифр не кратна 10-ти), приходим к выводу, что у каждого из двух последовательных натуральных чисел сумма цифр может быть кратна 10-ти тогда, когда первое число заканчивается на 9, а прибавив единицу к этому числу, получаем второе число с нулями, причём такое, что сумма первых n цифр в нём кратна 10-ти. Отсюда вопрос, а сколько цифр должны давать число, кратное 10-ти во втором числе? Если такая цифра одна, то ясно, что 10 или число, кратное 10-ти не получится в любом случае, так как самая большая цифра равна 9-ти. Значит, у второго числа впереди может быть двузначное число. А минимальное такое число, сумма цифр которого кратна 10-ти — 19. Значит, второе число начинается на "19". Тогда первое начинается на "18", к которому должно быть приписано несколько девяток (мы же ищем последовательные числа). Пока сумма известных цифр первого числа равна 9-ти. Приписать к нему мы можем только цифры "9". Сколько же цифр "9" следует приписать к "18", чтобы сумма цифр была кратна 10-ти? Нетрудно заметить, что приписать надо девять цифр "9". Во всех остальных случаях сумма цифр первого числа не будет кратна 10-ти. Значит, первое число равно 18999999999, а второе, соответственно, 19000000000. В ответе следует записать сумму этих чисел. Отсюда:
          Ответ: 37999999999.

Александр Анатольевич, репетитор по математике в лицей НИУ ВШЭ. 8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей.

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы