1. Вычислить
Решение:
2. Решить уравнения. а) (x-2)(x+3)+(x-2)(2x+1)=(2-x)
Решение:
(x-2)(x+3)+(x-2)(2x+1) + x — 2=0
(x-2)(x+3+2x+1+1)=0
x1=2; x2= — 5/3
б)
Решение:
3. Найти значения параметров m, a и b, при которых равенство
( 2 x 2 + x — 5)(x + m) = 2 x 3 + 3 x 2 + ax + b
оказывается верным при любом
значении x.
Решение:
Равенство окажется верным при любых значениях x тогда, когда левая часть будет тождественно равна правой. Раскроем скобки в левой части уравнения.
2 x 3 + 2mx2 + x2 + mx — 5x — 5m = 2 x 3 + 3 x 2 + ax + b
2mx2 + x2 + mx — 5x — 5m = 3 x 2 + ax + b
(2m + 1) x2 + (m — 5) x — 5m = 3 x 2 + ax + b
Уравняем соответствующие коэффициенты:
2m + 1 = 3
m — 5 = a
–5m = b
Откуда m = 1; a = –4; b = –5.
4. Ломанная состоит из трёх отрезков и имеет длину 11 см. Первый отрезок равен 17,5 % всей длины ломанной, второй отрезок — 5/11 длины оставшихся двух отрезков.
Найти длину третьего отрезка ломанной.
Решение:
1-й способ:
Так как первый отрезок равен 0,175 x 11, то второй и третий отрезки ломанной в сумме равны 0,825 х 11. По условию, второй отрезок равен 5/11 длины второго и третьего отрезков. Значит,
третий отрезок равен 6/11 этой длины. Перемножив 6/11 и 0,825 х 11 получим 6 х 0,825 = 4,95 см
2-й способ: Первый отрезок ломанной 0,175×11. Так как в задаче не требуется находить все отрезки ломанной, решим задачу без вычисления длин первого и второго отрезков
ломанной, для того, чтобы не делать лишних вычислений и не терять время на них:
Значит, второй и третий отрезки ломанной 11-0,175×11
А второй отрезок ломанной:
Значит, третий отрезок ломанной равняется: 11 — 0,175×11 — 5 + 5×0,175 =
= 6(1 — 0,175) = 4,95 см
Конечно, задачу можно решить последовательно находя отрезки. Первый равняется 1,925 см, а второй — 4,125 см. После из 11 вычесть сумму этих отрезков. Однако порой на вступительных
экзаменах требуется не просто решить задачу или пример, а решить наиболее рациональным и коротким способом. В условиях конкурса преимущество обычно имеет тот поступающий,
который решил задачу наиболее рациональным способом.
5. При каком d прямые 5x + 3y = 7 и 2y + x = d, пересекаются в точке, принадлежащей прямой y = — 2x.
Решение:
Найдём абсциссу точки пересечения первой прямой и прямой y = — 2x. Для этого в запись формулы первой пряиой вместо y подставим -2x.
5x — 6x = 7, откуда x = — 7.
Ордината этой точки равна 14 (y = ( -7 ) x ( — 2) = 14). Теперь найдём d.
2 x 14 + (– 7) = 21.
6. Построить график функции
По графику полученной функции определить, при каких значениях x значение y
а) равно нулю;
б) больше нуля;
в) меньше нуля.
Существует точка зрения, что графики функций с модулями — совсем не тема седьмого класса, особенно если это не график функции y = |x|, а что-то отличающееся. И что семиклассники,
даже если они и поступают в восьмой класс хорошей школы, могут и не знать, как строится график такой функции. Однако задача любого конкурса выявить лучших. Поэтому примеры,
слегка выходящие за рамки школьной программы рассчитанны на то, что поступающий просто умеет думать и находить решения даже в том случае, если в школе ничего такого не было. Другими
словами, конкурс выявляет не только то, как поступающий освоил типовые задачи седьмого класса, но и то, как он умеет решать нестандартные примеры.
Решение: Первый способ:
Второй способ:
График функции y = |x| имеет вид:
Нетрудно заметить, что график функции y = — |x| симметричен графику функции y = |x| относительно оси Ox.
Прибавляя 1 ко всем значениям, получаем график
Так как
то отбросим левую часть
Так как y = 1, при x < 1, имеем график заданной функции:
6. Построить график функции.
2) y = (x — 2)2 + (x + 3)2 — (2 x2 + 12)
По графику полученной функции определить, при каких значениях x значение y
а) равно нулю;
б) больше нуля;
в) меньше нуля.
Решение: Упростим запись функции:
y = (x — 2)2 + (x + 3)2 — (2 x2 + 12) = x2 — 4x + 4 + x2 + 6x + 9 — 2 x2 — 12 = 2x + 1.
Построим график функции y = 2x + 1
Абсцисса точки пересечения графика с осью Ox находится из уравнения 0 = 2x + 1. Откуда x = — 1/2. Значит,
7.
а) Докажите, что при любом целом n значение выражения (2n — 3)2 — (4n — 1)(n + 6) кратно 5.
Решение: (2n – 3)2 – (4n – 1)(n + 6) = 4 n2 – 12n + 9 – 4n2 – 24n + n + 6 = – 35n + 15 = 5 (– 7n + 3)
Выражение кратно 5, так как в нём есть множитель 5.
7.
б) известно, что
Найдите значение выражения:
Решение.
Упростим первое выражение:
Подставим это выражение вместо b во второе выражение:
8. ∠A треугольника ABC равен α, а ∠B — прямой. Точка D отложена на AC так, что CD=CB. Точка E отложена на AB так, что BE=BD. Найти ∠ADE, если α<45°.
При каком значении α ∠ADE будет вдвое меньше α.
Решение.
Для удобства обозначим всё углы цифрами. Треугольник BCD — равнобедренный по условию (BC=CD). Значит, ∠2=∠3.
Треугольник BED — равнобедренный по условию (BD=BE). Значит, ∠4=∠6.
∠1 = 90° — α (так как треугольник ABC — прямоугольный и сумма острых углов равна 90°).
∠2 = ∠3 = (180° — ∠1) / 2
∠5 = 90° — ∠2
∠4 = ∠6 = (180° — ∠5) / 2
∠ADE = ∠7 = 180° — ∠3 — ∠4; так как ∠ADC — развёрнутый.
Так как от угла α зависит ∠1, выразим ∠4, а также ∠5 через ∠1.
∠5 = 90° — ∠2 = 90° — (180° — ∠1) / 2 = (∠1) / 2; ∠4 = (180° — ∠5) / 2 = 90° — (∠1) / 4.
Следовательно, ∠7 = 180° — ∠3 — ∠4 = 180° — (180° — ∠1) / 2 — (90° — (∠1 / 4)) = (3 ∠1) / 4 = (270° — 3α) / 4.
∠ADE = (270° — 3α) / 4 .
Если α = 45°,
то ∠ADE = (270° — 135°) : 4 = 33,75°. Значит, если α < 45°, то
33,75° < ∠ADE < 90°.
Найдем значение α, при котором ∠ADE будет вдвое меньше α.
Откуда α = 54°.
9. Упростить выражение и вычислить при
Решение.
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.