Главная | Отзывы | Статьи | Методики | Варианты | Олимпиадные задачи | Разное |
---|---|---|---|---|---|---|
Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич |
+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва |
---|
Нестандартные геометрические задачиНесмотря на то, что курс геометрии начинается в школе в 7-м классе, различного рода геометрические задачи, причём, зачастую достаточно оригинальные, требующие нестандартных методов решения, которые в школе не изучаются, встречаются на олимпиадах 5-6 классов, а также предлагаются на вступительных экзаменах в 5-й или 6-й класс лицеев и гимназий. Поэтому бывает полезно рассматривать и такие задачи на занятиях с репетитором в рамках курса по олимпиадной математике. Всё же, оригинальных задач на эту тему (без повторения идей) встречается не так уж и много. А поняв ту или иную идею, школьники достаточно легко справляются с аналогичными задачами. Поэтому важно рассматривать на занятиях ключевые задачи, а похожие задавать ученикам выполнять самостоятельно только для того, чтобы закрепить эти методы. Поскольку рассмотрение ключевых задач обычно не занимает много времени, целесообразно объединять эту группу задач с другими, например, с задачами на разрезание, с задачами "одним росчерком" или с задачами, решаемыми с помощью раскраски. Приведённые ниже задачи разделены на группы по ключевым идеям.
1) В одной из вершин куба сидит муравей (красная точка). Нарисуйте кратчайший путь, как ему проползти в зелёную точку.
![]() Подсказка репетитора по математике: На первый взгляд может показаться, что кратчайший путь здесь: 2) На ребре тетраэдра сидит жук. Он хочет проползти по каждой его грани и вернуться в исходную точку. Местонахождение жука показано красной точкой. Укажите кратчайший путь жука и найдите его длину, если ребро тетраэдра равно 1 см. ![]() 3) По одну сторону от шоссе Москва-Тверь, находится почтовое отделение, где работает почтальон Печкин, и дом в Простоквашино, где живёт дядя Фёдор. Причём расстояния от почтового отделения до шоссе и от дома дяди Федора до того же шоссе различны. Печкин уже собирался ехать на велосипеде в Простоквашино, как на почту позвонили и сообщили, что в почтовой машине, двигающейся по шоссе, находится письмо для дяди Фёдора. В какой точке шоссе почтальону Печкину следует назначить встречу с почтовой машиной, чтобы расстояние от почтового отделения до дома дяди Фёдора с заездом к шоссе было минимальным? Квадраты 1) В прямоугольник вписано 7 квадратов так, как показано на рисунке. Сторона каждого из красных квадратов равна 12 см. Чему равна сторона большого зелёного квадрата? Задачу требуется решить арифметическим способом.
![]() 2) Задача из вступительного экзамена в 5-й класс гимназии 1543. Зелёный прямоугольник окружён каймой из больших и маленьких квадратов. Все большие квадраты одинаковые и все маленькие тоже одинаковые. Длина зелёного прямоугольника равна 48 см. Найдите его ширину. Решите задачу арифметическим способом.
![]() 3) Прямоугольник составлен из квадратов. Сторона самого маленького (белого( квадрата равна 1 см. Найти сторону самого большого (красного) квадрата. ![]() 4) Начертите на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого равна: а) 2 клетки; б) 4 клетки; в) 5 клеток; г) 8 клеток; д) 9 клеток; е) 10 клеток. Углы 1) Дан куб. Определите угол между красными отрезками:
![]() Подсказка репетитора по математике: Долгое время считалось, что в 5-6 классах школьники знакомятся только как пользоваться транспортиром и лишь в 7-м классе в курсе геометрии изучают теорему о сумме углов треугольника. Поэтому определить, чему равен тот или иной угол, т.е. найти его математическими рассуждениями в 5-6 классах ещё рано. Однако в последнее время ситуация изменилась: появились учебники для 5-6 классов, в которых прямоугольный, равносторонний, равнобедренный треугольники, а также сумма углов треугольника рассматриваются уже в 6-м и даже в 5-м классах. Так, например, в учебнике "Математика - 6 класс" авторов Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, С.Б. Суворовой школьникам предлагается находить углы равностороннего треугольника (задача 1173 по учебнику, изданному в 2010 г.), в достаточно распространённом в последнее время учебнике "Математика 5 класс" С.М. Никольскиого, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина школьникам предлагаются задачи на построение треугольников по трём элементам (что когда-то входило в программу только 7-го класса). Так что те пяти- шестиклассники, которые занимаются по указанным здесь учебникам, как правило, легко решают эту задачу. 2) Сколько градусов составляет угол, изображённый на рисунке:
![]() Одним росчерком 1) Можно ли ходом шахматного коня обойти все клетки фигуры, побывав в каждой клетке ровно один раз? ![]() Одним росчерком - означает, что необходимо нарисовать фигуры не отрывая карандаша от бумаги и по каждой линии дважды (туда и обратно) водить карандашом нельзя. 2) Соедините 9 точек одним росчерком (четырьмя прямыми линиями): ![]() 3) Перерисуйте на лист бумаги 9 точек: 5 чёрных и 4 белых, как показано на рисунке: ![]() Изобразите такой пятиугольник, что все чёрные точки лежат вне его, а все белые внутри. Затем вновь перерисуйте ту же картинку и изобразите такой шестиугольник, что все чёрные точки лежат внутри него, а все белые – вне. 4) Соедините 16 точек одним росчерком (шестью прямыми линиями):
![]() Для того, чтобы ученики могли вдумчиво решать следующие задачи, полезно познакомить их с основными правилами теории графа. Это теория восходит к знаменитому швейцарскому, немецкому и российскому математику Леонарду Эйлеру. Заинтересовавшись задачей о кёнигсбергских мостах, в которой требовалось выяснить, можно ли пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходное место, Эйлер доказал невозможность её решения. В результате он вывел из этого несколько правил, которые положили начало теории графов и привели к появлению типа задач, в которых требуется нарисовать различные геометрические композиции одним росчерком.
5) Какие из этих фигур можно начертить одним росчерком и какие нельзя? Ответ поясните. Покажите путь одним росчерком для тех фигур, которые можно нарисовать одним росчерком. ![]() 6) Пешеход обошёл все улицы одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь один раз. Могло ли такое быть? 7) В вершине тетраэдра сидит жук. Он хочет проползти по каждому ребру и вернуться в исходную точку. Укажите кратчайший путь жука и найдите длину пути, если ребро тетраэдра равно 1. Александр Анатольевич Миров, репетитор по математике в Москве. |
![]() |