Арифметический способ решения текстовых задач в 4-5 классах

Главная	Отзывы	Статьи	Методики	Варианты	Олимпиадные задачи	Разное

Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич	+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва

Арифметический способ решения текстовых задач в 4-5 классах
         Одним из направлений моей работы в качестве репетитора является подготовка способных учеников к поступлению в 5-й класс сильных школ, например, гимназии 1543. Поскольку арсенал средств, доступных четвероклассникам для решения задач повышенной трудности весьма ограничен — они должны решать все задачи арифметическим способом, даже такие, которые в 5-7 классе решаются уравнением, то именно об арифметическом способе и пойдёт речь в этой статье. Некоторые полагают, что арифметический способ достаточно примитивен, и что поступающему необходимо знать, как решать задачи уравнением — якобы именно это демонстрирует его "продвинутость", однако это не так.
         Если для решения некоторых трудных текстовых задач в 5-6 классе во многих случаях составляется уравнение, то в 4-м классе и при поступлении в 5-й класс сильной школы, например, гимназии 1543 необходимо умение решать такие задачи арифметическим способом. Преимущества этого способа состоят в том, что достаточно сложные задачи можно решить по действиям и подчас почти в уме с помощью несложных рассуждений и простейших арифметических действий, что сделать с помощью уравнения бывает весьма затруднительно.
         Проиллюстрирую эти размышления решением одной задачи, предлагавшейся для поступающих в гимназию 1543.

         Задача 1. Если сначала отец наколет четверть дров, а затем сын — оставшиеся дрова, им потребуется 40 минут. А если четверть дров наколет сын, а остальные отец, то они справятся за 32 минуты. За сколько времени сын наколол бы все дрова без помощи отца?

          Просмотрев более двух десятков сайтов, где приведено решение этой задачи, с удивлением обнаружил, что везде эта задача решена алгебраическим способом — составлением системы двух уравнений с двумя неизвестными. Однако о какой системе уравнений может идти речь в 4-м классе? Значит, предполагается, что 4-классник должен решить эту задачу арифметическим способом. И такое решение существует. Кстати, оно настолько простое, что позволяет решить эту задачу при желании в уме.
          Прежде всего, следует отметить, что производительность отца и сына не одинаковы.

Важно отметить, что некоторые репетиторы, даже рекламирующие подготовку в 5-й класс математических школ, как правило, недооценивают возможности арифметического способа и обычно, так или иначе, рекомендуют своим подопечным составлять уравнения, считая именно таких учеников способными и продвинутыми. Но одно дело предложить ученику составить простенькое уравнение на все действия с числами, причём если неизвестное находится только в одной его части и совсем другое — если уравнение к задаче потребует приведения дробей к общему знаменателю, знания пропорции, сокращения дробей — словом, всего того, что проходится в 5-6 классах. А предлагать четверокласснику решать задачи составлением системы двух уравнений с двумя неизвестными и вовсе не выдерживает никакой критики. Безусловно, взрослому, окончившему школу легко решить эту задачу алгебраическим способом, но нельзя забывать, что четвероклассникам доступен пока еще только арифметический способ. Ни о каких системах уравнений и методах их решения они ещё ничего не знают.

Алгебраический способ решения текстовой задачи состоит в том, чтобы составить уравнение или систему уравнений. Арифметический способ предполагает решение задач с помощью арифметических действий над числами.

Арифметическим способом можно решить достаточно много различных задач 5-7-го классов, для решения которых традиционно предлагается составлять уравнение или даже систему уравнений. Рассмотрим несколько задач, которые можно решать не только составлением уравнения, но и по действиям, т.е. арифметически.

Задача 2. В клетке сидят куры и кролики. У них 40 голов и 124 ноги. Сколько кур и сколько кроликов в клетке?

В задаче два неизвестных и, кажется, что иначе как уравнением или подбором задачу решить нельзя. Однако это не так. Решим её арифметически. Предположим, что в клетке сидят только куры. Значит, у них 80 ног.

1) 40 * 2 = 80 (ног) Однако всего ног 124. Значит, 2) 124 — 80 = 44 (ног) Столько ног осталось неучтенных при нашем предположении. А поскольку у кроликов 4 ноги, то из них по две ноги у каждого мы уже учли. А две других у каждого пока не учли. Значит, кроликов: 3) 44 : 2 = 22 (кроликов)
4) 40 — 22 = 18 (кур) . Можно сделать проверку: кроликов получилось 22. У них 22 * 4 = 88 ног. Кур, соответственно 40 — 22 = 18. У них 18 * 2 = 36 ног. 88 + 36 = 124 ноги. Значит, задача решена верно.

Задача 3. Поезд проходит по мосту длиной 500 метров за 40 секунд, а мимо столба за 15 сек. Найти длину и скорость поезда.

Задачи такого рода нередко встречаются на вступительных экзаменах в математические школы и лицеи. В частности, задача на эту тему, обозначаемую обычно как «задачи на движение протяжённых отрезков» предлагалась для поступающих в 6-й класс лицея «Вторая школа». Нередко репетиторы рекомендуют решать такие задачи уравнением. Однако решить её можно и арифметическим способом.

         На рисунке бледным цветом показан поезд, подъезжающий в первом случае к столбу с флажком, а во втором — к мосту. Прежде всего, необходимо уяснить, что мимо столба поезд проходит путь, равный его длине, а путь поезда через мост равен сумме длины поезда и длины моста. Так как первый путь поезд преодолевает за 15 с, а второй — за 40 с, то разница во времени — это то время, когда поезд находился на мосту полностью или время, которое проходит от того момента как локомотив въехал на мост, до того момента как он съехал. 1) 40 — 15 = 25 (с)
         Так как длина моста равна 500 м, а время, которое проходит от того момента как локомотив въехал на мост, до того момента как он съехал с моста равно 25 с, то можно найти его скорость: 2) 500 : 25 = 20 (м/с)
         Так как путь, равный длине поезда (красный отрезок) поезд проходит за 15 с, то длина поезда равняется: 3) 20 * 15 = 300 (м)

         Среди задач, часто вызывающих трудности у школьников, относятся задачи на совместную работу различных машин и механизмов вроде труб, бульдозеров, экскаваторов и т.п. или работников – машинисток, дровосеков, дворников и т.д. Причём задачи на эту тему – постоянно, как и задачи на движение, встречаются на вступительных экзаменах во многие лицеи и гимназии в 5-9 классы. Наиболее часто они решаются уравнением, подчас с помощью дробей. При этом дроби приводятся к общему знаменателю, что конечно же, не доступно четвероклассникам, поступающим в 5-й класс гимназии 1543. Но наши предки решали такие задачи обычно арифметическим способом. Как они это делали? Рассмотрим достаточно часто встречающуюся в различных учебниках задачу:

Задача 4. За пять недель пират Ерёма Способен выпить бочку рома А у пирата, у Емели Ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоём?

Обычно эта задача адресуется 6-классникам и решается так:
5 недель — это 35 дней; 2 недели — это 14 дней, тогда пират Ерёма выпивает за день
1/35 бочки, а пират Емеля — 1/14 бочки. Вдвоём они выпивают за день: пираты выпивают вдвоём

          Обратим внимание на то, что решение требует умения приводить дроби к общему знаменателю, что по программе обычной общеобразовательной школы проходится не ранее 6-го класса (например, по учебнику Виленкина).
         Между тем, эту задачу можно легко решить арифметическим способом.
За 490 (35 * 14) дней Ерёма выпьет 14 бочек, а Емеля за то же время выпьет 35 бочек. Значит, за 490 дней они могут выпить 49 бочек. Откуда следует, что одну бочку они могут выпить за 10 дней (490 : 49 = 10).
          Запишем решение по действиям:
         1) 35 * 14 = 490 (дней) – пусть столько дней пили ром оба пирата.
          2) 490 : 35 = 14 бочек – выпьет за 490 дней Ерёма.
          3) 490 : 14 = 35 бочек – выпьет за 490 дней Емеля.
          4) 35 + 14 = 49 бочек – столько бочек они могут выпить за 490 дней вместе.
          5) 490 : 49 = 10 дней – за столько дней Ерема и Емеля выпьют одну бочку рома.

         Почему в решении этой задачи присутствует число 490, а не, например, 70? Дело в том, что если шестиклассник знает, что такое НОК – это входят в программу 6-го класса, например, по «классическому» учебнику Виленкина, то четвероклассник может этого и не знать. Более того, наши предки решали такие задачи именно просто перемножая числа. Этот способ доступен и четверокласснику.

         Рассмотрим ещё одну задачу, предлагавшуюся на вступительном экзамене в гимназию № 1543:

Задача 5. От Клина до Москвы 90 км. На полпути между Клином и Москвой находится деревня Простоквашино. Из Клина в Москву выбегает Шарик со скоростью 12 км/ч, а из Простоквашино в Москву одновременно с ним на велосипеде со скоростью 15 км/ч выезжает почтальон Печкин. Доехав до Москвы, Печкин тут же разворачивается и едет назад. На каком расстоянии от Москвы он встретится с Шариком?

Некоторые репетиторы предлагают решать такие задачи уравнением, в котором неизвестное находится в двух его частях, да ещё и агитируют школьных учителей за то, чтобы те учили четвероклассников пропорциям, приведению дробей к общему знаменателю и их сокращению, решению уравнений 6-го класса — таких, в которых неизвестная величина находится в обеих частях уравнения, забывая, что и то, и другое, и третье – методы 5-го или 6-го классов, но отнюдь не 4-го. В 4-м же классе от школьников требуется умение решать задачи арифметическим способом. К нему и обратимся. задача о поезде

         Красным цветом показан путь Шарика, синим цветом — путь Печкина. Чёрно-жёлтым флажком обозначено место встречи Печкина и Шарика. В задаче требуется найти расстояние между жёлтым флажком и Москвой. Расстояние между городами равно 90 км, а деревня Простоквашино, согласно условию, находится посредине. Значит, расстояние между Простоквашино и Москвой равно 45 км:
         1) 90 : 2 = 45 (км)
         Нетрудно заметить, что Шарик вместе с Печкиным преодолели 135 км:
         2) 90 + 45 = 135 (км)
         Теперь найдём, сколько км в час преодолевают они вместе:
         3) 12 + 15 = 27 (км/ч)
         Найдём теперь через какое время они вместе преодолели 135 км (т.е. и расстояние, показанное красным цветом и расстояние, показанное синим цветом вместе):
         4) 135 : 27 = 5 (ч)
         Значит, Шарик пробежал до встречи:
         5) 5 * 12 = 60 км.
         Узнаем теперь, сколько километров он не добежал до Москвы:
         6) 90 — 60 = 30 (км)
         Это и будет искомое расстояние.

         В заключение хочется отметить, что использование арифметического способа решения хадач развивает у школьников логическое мышление и, зачастую, позволяет решать некоторые достаточно сложные задачи в уме, минуя уравнение и зачастую не укладывающиеся в голове школьника действия, связанные со всеми действиями с дробями от приведения их к общему знаменателю до деления и умножения. Встречаются ученики, которые настолько хорошо вникают в арифметический способ, что способны решать им не только задачи 4-5 классов, но и 6-7 классов. И в любом случае не стоит таких учеников вынуждать решать задачи уравнением. Наоборот, полезно развивать их навыки решения задач арифметически.
         Однако исходя из моего опыта репетиторства могу отметить, что отношение школьных учителей к арифметическому способу неоднозначное. Когда-то у меня был ученик, который вплоть до 8-го класса решал задачи по математике в уме именно арифметическим способом, но при этом выше "тройки" в школе не имел. Его школьной учительнице очень не нравилось, если он решал задачи по-другому — не так, как она учила, и то, что он обычно писал правильные ответы задач, намного опережая своих одноклассников по времени, решавших задачи уравнением. Но его школьная учительница требовала в любом случае составлять уравнения.
         С другим моим учеником — пятиклассником, произошёл такой случай, что школьная учительница в качестве домашнего задания предложила классу найти в литературе по математике какую-либо задачу и решить её. Мой ученик выбрал в качестве таковой задачу про пиратов (см. выше). Просто ученику эта задача понравилась занимательным сюжетом, навевающим интерес к приключенческой литературе с участием пиратов. Однако школьная учительница, не привыкшая решать задачи такого рода арифметическим способом, заявила, что в самом начале 5-го класса такие задачи решать еще рано — мол, пятикласснику ещё не знакомы действия с дробями. Пришлось объяснять моему ученику, как решить эту задачу по действиям.
         В последнее время ситуация стала меняться. Встречаются школьные учителя, которые предлагают своим ученикам решать задачи исключительно логическими рассуждениями и арифметическим способом, одновременно даже запрещая им решать задачи уравнением. Однако далеко не все репетиторы учат своих учеников арифметическим способам решения. Если попадается какая-либо задача, которую, казалось бы, привычнее решать уравнением или системой уравнений (как, например, Задача 1 — см. выше), то её и решают так, как привычно, забывая, что в 4-м классе эти задачи принято решать иначе и гораздо проще. И поскольку четвероклассникам алгебраический способ еще не доступен, то это означает, что решать задачи они должны арифметическим способом. Роль репетитора в таких случаях состоит в том, чтобы объяснить решение какой-либо задачи понятным четверокласснику арифметическим способом.
         И конечно же, уметь решать даже сложные задачи именно арифметическим способом полезно всем тем школьникам, которые поступают в 5-й класс сильных школ, в частности, гимназии № 1543.

Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589, подготовка к поступлению в 5-й класс лицеев и гимназий.

Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы