Главная | Отзывы | Статьи | Методики | Варианты | Олимпиадные задачи | Разное |
---|---|---|---|---|---|---|
Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич |
+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва |
---|
Одним из направлений моей работы в качестве репетитора является подготовка способных учеников к поступлению в 5-й класс сильных школ, например, гимназии 1543. Поскольку арсенал средств, доступных четвероклассникам для решения задач повышенной трудности весьма ограничен — они должны решать все задачи арифметическим способом, даже такие, которые в 5-7 классе решаются уравнением, то именно об арифметическом способе и пойдёт речь в этой статье. Некоторые полагают, что арифметический способ достаточно примитивен, и что поступающему необходимо знать, как решать задачи уравнением — якобы именно это демонстрирует его "продвинутость", однако это не так. Если для решения некоторых трудных текстовых задач в 5-6 классе во многих случаях составляется уравнение, то в 4-м классе и при поступлении в 5-й класс сильной школы, например, гимназии 1543 необходимо умение решать такие задачи арифметическим способом. Преимущества этого способа состоят в том, что достаточно сложные задачи можно решить по действиям и подчас почти в уме с помощью несложных рассуждений и простейших арифметических действий, что сделать с помощью уравнения бывает весьма затруднительно. Проиллюстрирую эти размышления решением одной задачи, предлагавшейся для поступающих в гимназию 1543.
Просмотрев более двух десятков сайтов, где приведено решение этой задачи, с удивлением обнаружил, что везде эта задача решена алгебраическим способом — составлением системы двух уравнений с двумя неизвестными. Однако о какой системе уравнений может идти речь в 4-м классе? Значит, предполагается, что 4-классник должен решить эту задачу арифметическим способом. И такое решение существует. Кстати, оно настолько простое, что позволяет решить эту задачу при желании в уме. Прежде всего, следует отметить, что производительность отца и сына не одинаковы. ![]() Важно отметить, что некоторые репетиторы, даже рекламирующие подготовку в 5-й класс математических школ, как правило, недооценивают возможности арифметического способа и обычно, так или иначе, рекомендуют своим подопечным составлять уравнения, считая именно таких учеников способными и продвинутыми. Но одно дело предложить ученику составить простенькое уравнение на все действия с числами, причём если неизвестное находится только в одной его части и совсем другое — если уравнение к задаче потребует приведения дробей к общему знаменателю, знания пропорции, сокращения дробей — словом, всего того, что проходится в 5-6 классах. А предлагать четверокласснику решать задачи составлением системы двух уравнений с двумя неизвестными и вовсе не выдерживает никакой критики. Безусловно, взрослому, окончившему школу легко решить эту задачу алгебраическим способом, но нельзя забывать, что четвероклассникам доступен пока еще только арифметический способ. Ни о каких системах уравнений и методах их решения они ещё ничего не знают.
Арифметическим способом можно решить достаточно много различных задач 5-7-го классов, для решения которых традиционно предлагается составлять уравнение или даже систему уравнений. Рассмотрим несколько задач, которые можно решать не только составлением уравнения, но и по действиям, т.е. арифметически.
В задаче два неизвестных и, кажется, что иначе как уравнением или подбором задачу решить нельзя. Однако это не так. Решим её арифметически. Предположим, что в клетке сидят только куры. Значит, у них 80 ног. 4) 40 — 22 = 18 (кур)
Задачи такого рода нередко встречаются на вступительных экзаменах в математические школы и лицеи. В частности, задача на эту тему, обозначаемую обычно как «задачи на движение протяжённых отрезков» предлагалась для поступающих в 6-й класс лицея «Вторая школа». Нередко репетиторы рекомендуют решать такие задачи уравнением. Однако решить её можно и арифметическим способом. ![]() На рисунке бледным цветом показан поезд, подъезжающий в первом случае к столбу с флажком, а во втором — к мосту. Прежде всего, необходимо уяснить, что мимо столба поезд проходит путь, равный его длине, а путь поезда через мост равен сумме длины поезда и длины моста. Так как первый путь поезд преодолевает за 15 с, а второй — за 40 с, то разница во времени — это то время, когда поезд находился на мосту полностью или время, которое проходит от того момента как локомотив въехал на мост, до того момента как он съехал. Так как длина моста равна 500 м, а время, которое проходит от того момента как локомотив въехал на мост, до того момента как он съехал с моста равно 25 с, то можно найти его скорость: Так как путь, равный длине поезда (красный отрезок) поезд проходит за 15 с, то длина поезда равняется: Среди задач, часто вызывающих трудности у школьников, относятся задачи на совместную работу различных машин и механизмов вроде труб, бульдозеров, экскаваторов и т.п. или работников – машинисток, дровосеков, дворников и т.д. Причём задачи на эту тему – постоянно, как и задачи на движение, встречаются на вступительных экзаменах во многие лицеи и гимназии в 5-9 классы. Наиболее часто они решаются уравнением, подчас с помощью дробей. При этом дроби приводятся к общему знаменателю, что конечно же, не доступно четвероклассникам, поступающим в 5-й класс гимназии 1543. Но наши предки решали такие задачи обычно арифметическим способом. Как они это делали? Рассмотрим достаточно часто встречающуюся в различных учебниках задачу:
Обычно эта задача адресуется 6-классникам и решается так: 5 недель — это 35 дней; 2 недели — это 14 дней, тогда пират Ерёма выпивает за день 1/35 бочки, а пират Емеля — 1/14 бочки. Вдвоём они выпивают за день: ![]() Обратим внимание на то, что решение требует умения приводить дроби к общему знаменателю, что по программе обычной общеобразовательной школы проходится не ранее 6-го класса (например, по учебнику Виленкина). Между тем, эту задачу можно легко решить арифметическим способом. За 490 (35 * 14) дней Ерёма выпьет 14 бочек, а Емеля за то же время выпьет 35 бочек. Значит, за 490 дней они могут выпить 49 бочек. Откуда следует, что одну бочку они могут выпить за 10 дней (490 : 49 = 10). Запишем решение по действиям: 1) 35 * 14 = 490 (дней) – пусть столько дней пили ром оба пирата. 2) 490 : 35 = 14 бочек – выпьет за 490 дней Ерёма. 3) 490 : 14 = 35 бочек – выпьет за 490 дней Емеля. 4) 35 + 14 = 49 бочек – столько бочек они могут выпить за 490 дней вместе. 5) 490 : 49 = 10 дней – за столько дней Ерема и Емеля выпьют одну бочку рома. Почему в решении этой задачи присутствует число 490, а не, например, 70? Дело в том, что если шестиклассник знает, что такое НОК – это входят в программу 6-го класса, например, по «классическому» учебнику Виленкина, то четвероклассник может этого и не знать. Более того, наши предки решали такие задачи именно просто перемножая числа. Этот способ доступен и четверокласснику. Рассмотрим ещё одну задачу, предлагавшуюся на вступительном экзамене в гимназию № 1543:
Некоторые репетиторы предлагают решать такие задачи уравнением, в котором неизвестное находится в двух его частях, да ещё и агитируют школьных учителей за то, чтобы те учили четвероклассников пропорциям, приведению дробей к общему знаменателю и их сокращению, решению уравнений 6-го класса — таких, в которых неизвестная величина находится в обеих частях уравнения, забывая, что и то, и другое, и третье – методы 5-го или 6-го классов, но отнюдь не 4-го. В 4-м же классе от школьников требуется умение решать задачи арифметическим способом. К нему и обратимся. ![]() Красным цветом показан путь Шарика, синим цветом — путь Печкина. Чёрно-жёлтым флажком обозначено место встречи Печкина и Шарика. В задаче требуется найти расстояние между жёлтым флажком и Москвой. Расстояние между городами равно 90 км, а деревня Простоквашино, согласно условию, находится посредине. Значит, расстояние между Простоквашино и Москвой равно 45 км: 1) 90 : 2 = 45 (км) Нетрудно заметить, что Шарик вместе с Печкиным преодолели 135 км: 2) 90 + 45 = 135 (км) Теперь найдём, сколько км в час преодолевают они вместе: 3) 12 + 15 = 27 (км/ч) Найдём теперь через какое время они вместе преодолели 135 км (т.е. и расстояние, показанное красным цветом и расстояние, показанное синим цветом вместе): 4) 135 : 27 = 5 (ч) Значит, Шарик пробежал до встречи: 5) 5 * 12 = 60 км. Узнаем теперь, сколько километров он не добежал до Москвы: 6) 90 — 60 = 30 (км) Это и будет искомое расстояние.
Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589, подготовка к поступлению в 5-й класс лицеев и гимназий. |
![]() |