(метод уравнения, метод Пирсона,
метод Магницкого, метод таблиц и др.)
Среди задач, предлагающихся школьникам на ОГЭ и ЕГЭ, нередко попадаются такие, которые в школе на уроках математики даже не рассматриваются. Одним из типов таких задач
являются задачи на сплавы, смеси, растворы. Бывает, что и успевающие ученики, отличники, спотыкаются на них и приглашают репетитора по математике только ради того, чтобы тот
объяснил, как решаются такие задачи.
Сначала я не хотел выкладывать метод решения таких задач в Интернет, потому что в нём, кажется, нет неясностей, требующих специальных разъяснений. Этот метод я знаю ещё
со школы. Однако просмотр нескольких страниц Интернета показал, что решения тут предлагаются один сложнее другого. Самое удивительное то, что и репетиторы, возможно вследствие того,
что объяснений решения таких задач нет в учебниках, предлагают самые различные способы и методики решения таких задач. Причем некоторые так усложняют решение, что порой приходится
удивляться, увидев тетрадь ученика, занимавшегося с другим репетитором, где объяснено решение таких задач. И если ученик просит объяснить это решение, потому что в нем он ничего
не понял, то невольно задаешься вопросом, а зачем объяснять решение сложными способами, не предлагая ничего взамен? Ведь дидактика школьных учебников состоит в том, что некоторые
математические задачи можно решать разными способами, а не каким-то одним. Например, в 9-11 классах школьные учителя нормально смотрят, если квадратное уравнение ученик решил
с помощью дискриминанта или с помощью угадывания корней по теореме Виета. Ученик в праве выбирать наиболее удобный для себя метод решения квадратного уравнения. Тогда почему же
репетиторы по математике часто настаивают только на каком-то одном методе решения задач на сплавы и смеси, не давая ученику представления о других способах? Одни репетиторы
предлагают решение с помощью трёх (!!!) таблиц, нарисовать которые и заполнить, а еще и запомнить порой не под силу школьнику. Другие предлагают решать такие задачи правилом креста
(или квадратом) Пирсона, да еще и настаивают на том, что этот метод применяется будто бы чаще всего. Третьи вспоминают метод Магницкого. Четвёртые предлагают решать таблицей,
пусть одной, но таблицей, утверждая, что будто бы «ничего лучше табличного способа хранения данных нет». Пятые – двумя пропорциями и диаграммой. Математические задачи на сплавы и
смеси появились не в связи с ОГЭ или ЕГЭ. Они существуют давно. Если уж метод Магницкого позволяет их решать, то это означает, что и в XVIII веке они уже существовали. Тогда как
вышеупомянутый Карл Пирсон (1857-1936) жил и работал в XIX-XX веках. И что же, до него других методов решений простейших задач на сплавы не существовало?
Основной и наиболее простой, по-моему, метод решения таких задач я изучал когда-то в школе на занятиях кружка по математике. Когда я учился в школе, занятия математики
у меня вела опытная учительница, Кирюшина Нина Павловна. В отличие от некоторых современных учителей, она всегда приветствовала, если ученик решил задачу каким-то другим способом,
которого нет в учебнике или который она не рассказывала. Особенно если этот способ простой и понятный. Поиск необычных способов решений задач и привлек меня когда-то к увлечению
математикой. Нина Павловна никогда не могла сделать такого замечания, которое делают некоторые современные учителя типа «Я вас так не учила». В моем представлении поощрение
различных способов решения задачи – наилучшая методика преподавания математики. Что почему-то забывают некоторые репетиторы. Надо еще добавить, что Нина Павловна никогда
не требовала решать задачу таблицей, понимая, что бывают задачи, которые весьма затруднительно уложить в таблицы, и что стремление представить задачу в виде таблицы подчас отнимает
много времени, которое требуется на то, чтобы нарисовать ее, подумать, какие данные внести в те или другие ячейки. И зачем таблица, если ученик и так, без таблицы, способен понять,
как составить уравнение и решить задачу? Необходимо помнить, что таблица – не самоцель при решении задачи. Таблица должна упрощать решение, а не усложнять его. А если усложняет,
вынуждая ученика думать, какие данные, в какую ячейку вписывать, да еще и если некоторые при этом оставлять пустыми (и такая методика встречается), то зачем терять время на таблицу?
А сейчас приходится только удивляться табличному способу, который в некоторых школах обязателен и для сильного ученика и для слабого. Однако вернусь к теме сплавов, смесей и
растворов. Рассмотрим некоторые задачи, предлагавшиеся на ЕГЭ и ОГЭ в последние годы.
|
Задача 1. Сплавили 2 кг цинка и меди, содержащего 20 % цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40 % цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. |
|---|
Так как требуется найти концентрацию меди, то составим уравнение по меди. Если в первом сплаве 20 % цинка, то меди в нём – 80%. Если во втором сплаве
40 % цинка, то меди в нём 60 %. Значит, имеет место уравнение:
где X концентрация меди в получившемся растворе в сотых.
На этом этапе уравнение легко проверить. 0,8 x 2 – столько меди было в одном сплаве, 0,6 x 6 – столько меди было в другом сплаве. (2 + 6) X – столько меди в получившемся
сплаве.
Методическое примечание репетитора по математике. Конечно, уравнение к этой задаче можно составлять в численном выражении процентов, например,
8 x 2 + 6 x 6 = ( 2 + 6 ) X, и тогда в ответе сразу же получится 65, однако в некоторых задачах на тему сплавов, смесей и растворов требуется или найти количество килограммов в одном из сплавляемых сплавов, или к
раствору добавляется чистая вода в кг, и ученики могут забыть умножить на 100 все члены уравнения, а в ответе получить ошибку на два порядка. Поэтому методически лучше показывать
ученику одну форму уравнения, с сотыми, с тем, чтобы он понял и запомнил общую схему решения.
|
Задача 2. Сколько килограммов меди нужно добавить к куску бронзы массой 8 кг и содержащему 13 % меди, чтобы повысить содержание в нём меди до 25 % от общей массы? |
|---|
По условию, в куске бронзы массой 8 кг, меди 0,13 x 8. Добавляем X кг меди: 0,13 x 8 + X. В новом куске меди получается 0,25 (X + 8) меди. Получаем уравнение:
Понимая, что 0,75 это ¾, легко получаем ответ, минуя вычисление столбиком: 0,96 : 3 x 4 = 1,28.
То есть 1,28 кг нужно добавить к 1-й смеси.
|
Задача 3. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50 % меди? |
|---|
Пусть в первом сплаве меди – X, а во втором Y. Составим уравнение:
|
Задача 4. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 65 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? |
|---|
Пусть X – концентрация кислоты в первом сосуде в сотых, а Y – концентрация кислоты во втором растворе в сотых. Если растворы слить, то получится 20 кг раствора, концентрации 65 %.
Значит, можно составить уравнение:
Методическое примечание репетитора по математике. Второе условие порой ставит учеников в тупик. Равные массы. А чему они равны и как это влияет
на уравнение? Поэтому здесь бывает полезно показать ученику, что уравнение не зависит от того, какие это массы.
Пусть M массы обоих растворов, которые смешиваются. Тогда кислоты
в первом растворе M x X , а во втором – M x Y. Тогда кислоты в получающемся растворе будет 0,6 x (M + M). То есть M x X + M x Y = 0,6 x (M + M). Нетрудно заметить, что на М можно
поделить обе части, однако методически полезно записать во второе уравнение системы М для того, чтобы убедиться в этом.
Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Во втором уравнении системы сокращаем M и методом сложения (вычитания) решаем систему:
В задаче требуется узнать, сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе. Значит, 0,35 x 8 = 2,8 кг
К этой группе задач примыкают и некоторые другие, решающиеся аналогичным способом. Например, следующая задача:
|
Задача 5. Антикварный магазин, купив две старинные вазы на общую сумму 360 рублей, продал их, получив 25 % прибыли. За сколько была продана каждая ваза, если наценка на первую была 50 %, а на вторую – 12,5 %. |
|---|
Пусть первая ваза стоила X, тогда вторая – 360 – X. Нетрудно заметить, что решение не зависит от того, на какую вазу,
какую наценку мы запишем в уравнение. Пусть наценка 50 % была на первую вазу, а 12,5 % — соответственно на вторую. Тогда можно составить два уравнения, и оба будут правильными –
одно «по наценке», другое «по цене». Уравнение «по наценке» будет иметь вид:
Уравнение «по цене» будет иметь вид:
Решим уравнение «по наценке». Помня о том, что 0,25 – это одна четвёртая, 0,125 – это одна восьмая, упрощаем:
Значит, первая ваза была продана за 120+0,5 x 120 = 180 рублей, а вторая за 240 + 0,125 x 240 = 270 руб.
Иногда встречаются методы решения таких задач по действиям. Однако способ по действиям порой приводит к выполнению ряда ненужных вычислений. К примеру, если решать
задачу № 5 уравнением, то сразу видно, как можно упростить вычисления. Но если же решать по действиям, то необходимо было бы умножать 0,25 на 360. И пусть это не самое сложное
вычисление, но порой в задачах встречаются и более неудобные числа. А если решать уравнением, то видно, какие вычисления можно не выполнять, заменив их упрощением.
Чтобы не уподобляться репетиторам, предлагающим только какой-то один метод, расскажу о других методах, которые, судя по Интернету, используются репетиторами и учителями
математики с тем, чтобы ученики могли выбрать для себя лучший метод. Для начала рассмотрим решение задачи № 1 методом Пирсона. Его основу составляет рисунок.
x % — это концентрация конечного сплава. В первой строке пишется концентрация первого сплава, а во второй – второго. Посредине, между известными концентрациями сплавов,
расположим неизвестную нам концентрацию получившегося сплава, обозначив ее за x. Дальше составляется пропорция, из которой находится x:
После этого из 100 % вычитаем 35 % и получаем ответ: 65.
Здесь обычно следует дополнительное разъяснение, почему в одном случае надо из 40 вычитать X, а в другом из X вычитать 20. Объясняется это так, что концентрация сплава, а
в данном случае, процентное содержание цинка в сплаве не может быть больше 40 % и меньше 15 %. А вычитать надо из большего меньшее. Поэтому и записывается в одном случае 40 – X, а
в другом случае – X – 20.
Методическое примечание репетитора по математике.По мнению репетитора по математике метод Пирсона достаточно громоздок. Он требует рисунка,
последнего рассуждения, которое может забыться со временем. И ученикам потом приходится вспоминать, как сделать, чтобы в уравнении получился корректный результат. А это означает –
терять время на несложную задачу по сути 6-го класса.
Интересно, что метод Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) мало чем по сути отличается от метода Пирсона, разве только схемой. То, что у Пирсона в просторечье называют
«квадратом», у Магницкого – «рыбой». По сути это одна и та же схема, из которой получается пропорция. Например, решим всё ту же Задачу № 1 методом
Магницкого.
И вновь, как и в методе Пирсона, в решении задачи по методу Магницкого получается та же пропорция. Поэтому завершение решения задачи по методу Магницкого опускаю.
Как оказалось, перечислены не все способы решения задач на сплавы, смеси (растворы). Ещё один метод решения задач такого типа состоит в приведении всех данных к формуле:
где K – процентное содержание чистого вещества в сплаве, смеси или растворе, m – масса чистого вещества, M – масса сплава, смеси или раствора.
Запись решения любой задачи на сплавы и смеси этим методом сводится к этой формуле. В остальном, решение близко предложенной методике составления уравнения, однако применять формулу для тех задач,
в которых можно обойтись без формулы нерационально. Ученик вполне может забыть формулу, тем более что ее нет в учебниках.
Наконец, один профессиональный репетитор предлагает решать такие задачи с помощью трёх таблиц, объясняя этот метод системностью решения и тем, что будто бы ничего лучше
табличного способа хранения (???) данных он не знает. Одно дело хранение и совсем другое – решение задачи. Однако не буду придираться к словам, а поясню, что за
«удивительные» таблицы предлагает этот репетитор. Он пишет, что каждой смеси (сплаву) отводится своя таблица. То есть одна таблица – одному сплаву или смеси, другая – другому или
добавляемому, третья – получившемуся сплаву или смеси. Причем каждая таблица должна быть оформлена в виде двух колонок – одна для граммов, килограммов, литров и пр., а другая для
процентов. Да, такие простые таблички удобно применять для некоторых простых задач на проценты. Однако к чему делать каждый раз столь системный подход для решения относительно
несложных задач на сплавы и смеси? И что же, это означает, что для задачи № 4 требуется 6 таблиц? Воспроизвести эти таблицы здесь не вижу смысла, потому что этот метод решения
напоминает мне школьника, чаще всего семиклассника, пытающегося решить задачу по геометрии методом нахождения всего, что можно найти, и что он уже знает, но при этом того, что
находить не имеет смысла. Например, доказывая равенство треугольников, он ищет не элементы, составляющие тот или другой признак, а находит и записывает всё то, что изучал ранее,
не думая, надо ему это или не надо для доказательства. Если есть на рисунке смежные углы, которые для доказательства равенства треугольников не нужны, он не упустит случая написать то, что он их заметил
в решении. Также и здесь. Репетитору, предлагающему решать задачу на смеси и сплавы с помощью трёх таблиц почему-то невдомёк, что расписывать данные, не требующиеся для решения,
означает терять время впустую.
Еще больше меня удивляет, когда учителя или репетиторы предлагают решать задачу только одним способом, даже если этот способ и не самый простой. При этом некоторые
репетиторы полагают, что чем подробнее они рассказывают свой метод решения, требуя от ученика буквального следовать ему, — тем лучше для ученика. Однако это далеко не так.
Репетитор по математике обязан показать ученику несколько способов решения той или иной задачи, если такие существуют, а не отвергать любые другие методы, в силу того, что у него
вошел в привычку только один метод. Необходимо добиваться того, чтобы ученик применял тот метод решения, который ему ближе, проще, понятнее. Учился бы самостоятельно находить
собственные решения. Конечно, здесь многое зависит от способностей ученика. Но каким бы ученик не был, недопустимо на корню отвергать любые другие методы, понятные ученику и тем
более смеяться над ними, как это делает репетитор по математике, предлагающий решать такие задачи тремя таблицами. Задача хорошего репетитора по математике, как и любого учителя,
состоит в том, чтобы развивать способности учеников, а не ограничивать их, высмеивая их попытки решить задачу по-другому.
В настоящей статье рассмотрены, наверное, все существующие сейчас методы решения задач на сплавы и смеси. Любой ученик в праве выбрать для себя свой метод — метод уравнения, который
я обычно применяю на уроках математики, метод Пирсона, метод Магницкого, метод формулы процентного содержания чистого вещества в сплаве, смеси или растворе или метод таблиц. Главное, чтобы
на экзаменах задача на сплавы, смеси и растворы не вызывала трудностей, а решалась быстро и правильно, чтобы оставалось время на решение более сложных задач.
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.