Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Вторая часть комплексного теста Задания по МАТЕМАТИКЕ 2020 ДЕМО для направлений «Информатика, инженерия и математика», «Экономика и математика» (в 10-й класс).
.
          Задание 1. Решить уравнение:
уравнение

         Решение:
решение уравнения

          Задание 2. Постройте график уравнения:
уравнение

         Найдите все значения m, при которых прямая y=m имеет с графиком уравнения только одну общую точку.
         Решение: Заметим, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель при тех значениях, что числитель равен нулю, - нулю не равен. То есть:
система

         Графиком верхнего уравнения является окружность радиусом 2, проходящая через начало координат и расположенная в I и II четвертях. Действительно:
окружность

         Теперь выясним, при каких значениях x и y знаменатель может равняться нулю и исключим эти точки на графике:
знаменатель
график

         y = m - горизонтальная прямая. Такая прямая имеет с графиком одну общую точку при m = 4, а также в выколотых точках. Найдем ординаты выколотых точек. Для этого решим две системы уравнений:
m2                m3

         Ответ: m1 = 4; m2 = 3,2; m3 = 3,6.

          Задание 3. Найдите область определения функции:
функция

         Решение:
         Выпишем все условия области определения:
область определения функция

         Решим первое неравенство:
область определения функция

         Решим второе неравенство:
область определения функция

         Рассмотрим третье условие из системы:
знаменатель
. Так как нет таких значений переменной при которых оба корня одновременно равны нулю (что следует из решения первых двух неравенств системы), то это условие области определения не равно нулю при любых значениях переменной.
         Изобразим решение двух неравенств на одной оси:
график
ответ
.
          Задание 4.
          На стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно.
         а) Докажите, что треугольники BMN и ABC подобны.
         б) Найдите расстояние от точки пересечения высот треугольника ABC до вершины B, если известно, что AC = 10, MN = 6.


задача по геометрии

          Решение:
Итак, классическая задача на подобие, в которой несколько пар подобных прямоугольных треугольников и почти всё находится подобием.
         а) Докажем, что что треугольники BMN и ABC подобны.
доказательство по пункту а)

         б)Так как на рисунке несколько пар подобных треугольников, то чтобы не запутаться, пометим на чертеже равные углы. Для наглядности сделаю другой чертеж:

равные углы

         
доказательство равенства углов

         Исходя из чертежа можно сразу сделать вывод о том, какие подобные треугольники следует рассмотреть для того, чтобы кратчайшим путем решить задачу. Во-первых, это, например, подобные треугольники BNO и ANC, поскольку в первый из них входит искомый отрезок BO. Напишем равенство отношений соответствующих сторон в этих треугольниках:
подобие

         Теперь рассмотрим подобные треугольники MNO и AOC. Они подобны по двум углам (уже обозначенным на рисунке).
подобие

          Задание 5.
         Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
с параметром
имеет 1 корень.

          Решение:
         Рассмотрим три случая:
с параметром
По условию уравнение должно иметь 1 корень. Этот случай возможен тогда, когда только одно из уравнений (1) имеет решение. Значит, одно из уравнение не должно иметь решения. Это может быть тогда, когда a=1 или a=-1. Но случай когда a=-1 уже рассмотрен выше. Значит, a=1. При a=1 x=1.
         Ответ: 0; 1.

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы