Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Вступительное испытание по математике для поступающих в 8-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535. II этап

          Задание 1. Найти значение выражения
математическая запись
          Решение:
математическая запись

          Задание 2.
а) Графиком линейной функции является прямая l, проходящая через точку М(-60;-175) и параллельная прямой y=3x+1535. Найти формулу этой линейной функции и построить её график;
б) Найти все значения q, при которых сразу три прямые - l и прямые, заданные уравнениями y=(3-q)x + 2q-1 и y=8x-4 - пересекаются в одной точке;
в) Найти все значения p, при которых прямая, заданная уравнением
математическая запись
пересекает ось абсцисс в той же точке, что и прямая l
          Решение: а) Если прямая y=kx+b параллельна данной, то k=3. Подставляя это значение и координаты точки М в формулу прямой, имеем: -175=3·(-60)+b, откуда b=5. Значит, формула искомой прямой: y=3x+5.
          б) Найдем координаты точки пересечения прямых:
математическая запись
          Координаты точки (x;y) пересечения трёх прямых должны удовлетворять всем трём уравнениям системы. Из первого и третьего уравнения имеем 3x+5=8x-4, откуда x=1,8. Значит, y=10,4. Подставляя эти значения во второе уравнение системы, находим q.
10,4=(3-q) · 1,8 + 2q - 1
0,2q=6
q=30.
          в) Точка пересечения прямой l имеет ординату y=0. Значит, абсцисса этой точки
математическая запись
Подставляя эти значения в заданное уравнение, находим p
математическая запись

          Задание 3. Натуральное число X при делении на 13 даёт остаток 7. Какой остаток при делении на 13 будет давать число X2-2X?
          Решение. По условию
математическая запись
где p - частное от деления числа X на 13. Значит, X=13p+7. Подставим это значение в искомое выражение:
X2-2X=(13p+7)2 - 2 · (13p+7)=169p2+2 · 13 · 7 + 49 - 26p - 14=169p2+156p+35. 169 и 156 делятся на 13 без остатка. При делении 35:13 получается остаток 9.
Ответ. 9.

          Задание 4. Прямоугольный кусок волшебной кожи ("шагреневая кожа") исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания она уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь 12 см2, а после исполнения двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания?
          Решение. Пусть x - длина куска кожи, а y - его ширина в тот же момент. Тогда после исполнения первого желания ширина была
математическая запись
а после второго еще на треть меньше. Из чего следует, что
математическая запись
Так как длина уменьшается на половину после каждого исполнения желания, то после пятого исполнения желания длина будет равняться:
математическая запись
Ширина куска после пятого исполнения желания будет равняться
математическая запись
Площадь куска, таким образом, после пятого исполнения желания будет равняться:
математическая запись
Подставив в это уравнение полученное значение y и приравняв к 12 см2 (площадь после 5-го исполнения желания по условию), получим:
математическая запись
Значит, длина после исполнения первого желания была 72 см.

          Задание 5. Решить уравнение: (x-2)2(x-3)=(x+1)2(x-12)
          Решение. Раскроем скобки: (x2 - 4x +4)(x - 3)=(x2 + 2x + 1)(x - 12)
x3 - 3x2 - 4x2 + 12x + 4x - 12 = x3 - 12x 2 + 2x2 - 24x + x - 12
-7x2 + 16x = -10x2 - 23x
3x2 + 39x = 0
x1 = 0; x2 = -13

          Задание 6. Биссектрисы углов A и B остроугольного треугольника ABC пересекаютсяв точке O. ∠ AOB=115°. Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, пересекаются в точке H. ∠ AHC=110°. Чему равны градусные меры углов треугольника ABC?
          Решение.
рисунок к задаче
математическая запись

Из прямоугольного треугольника KCA имеем
∠ KAC = 90°-∠ ACK = 90° - 30° = 60°, т.е. ∠ BAC = 60°
Оставшийся угол в треугольнике ABC равен 70°.
Ответ. 70°; 60°; 50°.

          Задание 7. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 8 км, одновременно отправились два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости второго. Лыжник, который первым прибыл в B, тут же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 мин после отправления из A. На каком расстоянии от пункта A произошла их встреча?
          Решение.
Пусть x км/ч - скорость лыжника, который двигался медленнее. Тогда x + 4 км/ч - скорость другого лыжника. Так как за 45 мин (3/4 часа) оба лыжника суммарно прошли два расстояния от A до B, то можно составить уравнение:
математическая запись

математическая запись
Согласно условию, лыжник, у которого скорость была меньше, не добрался до B, то найти искомое расстояние можно умноживего скорость на 3/4 часа.
математическая запись
Ответ. 6,5 км.

          Задание 8. Разложить на множители:
          Решения.
а) 75m2 - 30mn + 3n2 - 2n + 10m = 3(25m2 - 10mn + n 2) + 2(5m - n) = 3(5m - n)2 + 2 (5m - n) = (5m - n)(15m - 3n + 2);
б) x2 + x - 6 = x2 - 9 + x + 3 = (x - 3)(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x - 2);
в) (a + b)(a - b)3 - (a - b)(a + b)3 = (a - b) (a + b) ((a - b)2 - (a + b)2) = 2b · 2a · (a + b)(a - b) = 4ab (a + b)(a - b).

          Задание 9. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.
          Решение
математическая запись
По теореме о внешнем угле, внешний ∠KCB треугольника ABC равен ∠CAB+∠CBA. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а CP - биссектриса, то ∠PCB=∠CBA (накрест лежащие). Значит, CP || AB. Ч.Т.Д.
Репетитор по математике 8-968-423-95-89 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.