Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Примерный вариант конкурсного тестирования по математике для поступающих
в 10-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535 (углубленный уровень)

          Задание 1. Упростить выражение
математическая запись
приведя его к виду mk, в бланк ответов внеся значение k.
          Решение:
математическая запись
Ответ. 15.

          Задание 2. Вычислить:
математическая запись

          Решение:
математическая запись


          Задание 3. На рисунке изображён график движения туриста из города A в город B. Определить скорость туриста (в км/ч) после привала.
график
          Решение: (18 - 9):(7 - 5) = 4,5.
Ответ. 4,5 км/ч.

          Задание 4. Найти значение выражения:
математическая запись
          Решение:
математическая запись


          Задание 5. Сократить дробь. Найти значение этой дроби при t=8.
математическая запись
Найдём корни квадратного уравнения 5t2 - 8t - 4 = 0
D=64 - 4 · 5 · ( - 4) = 144
t1 = 2; t2 = - 0,4.
Значит, 5t2 - 8t - 4 = 5 (t - 2)(t + 0,4) = (t - 2)(5t + 2)
t3 - 4t2 + 4t = t (t2 - 4t + 4) = t (t - 2)2.
Таким образом,
математическая запись
Подставив значение t=8, получаем:
математическая запись


          Задание 6. Найти сумму всех различных корней уравнения
математическая запись

          Решение:
математическая запись
математическая запись
или
математическая запись
Пусть x2= t > 0. Тогда t2 - 24t - 25 = 0; откуда t1=25; t2 = -1. Значит, x1 = 5; x2 = - 5.
x1 = 5 не удовлетворяет области допустимых значений переменной. Значит, у заданного уравнения всего два корня: - 5 и 0,03. Таким образом сумма корней равняется - 4,97.
Ответ: - 4,97.

          Задание 7. Решить систему уравнений
математическая запись
В бланк ответов внести наибольшее возможное значение дроби
математическая запись
где пара чисел (x0; y0) является рещением данной системы.
          Решение. Из первого уравненияя имеем x1 = 4; y2 = -3. Подставив эти значения во второе уравнение, получим: y1 = 6; x2 = - 8.
Искомое отношение в одном случае равно
математическая запись
а в другом случае
математическая запись
. В ответе просят написать наибольшее значение этой дроби. Значит,
          Ответ. 1,5.

          Задание 8. В растворе спирта и воды спирта в четыре раза меньше, чем воды. Когда к этому раствору добавили 20 литров воды, получили 12%-ый раствор спирта. Сколько литров воды было в исходном растворе?
          Решение. Так как в исходном растворе спирта в 4 раза меньше, чем воды, то спирта в нем - 20% (0,2x), а воды - 80% (0,8x). Составим уравнение (по воде).
0,8x + 20 = 0,88 (x + 20)
0,88x - 0,8x = 20 (1 - 0,88)
0,08x = 2,4
x = 30
Следовательно, воды в исходном растворе было 0,8 · 30 = 24 л.

          Задание 9. Решить систему неравенств
математическая запись
В ответе указать сумму всех различных целых решений данной системы.
          Решение. Корни соответствующего первому неравенству квадратного уравнения:    x2 = 1;   x1 = 5.
Числитель дроби второго неравенства < 0. Значит, второе неравенство можно переписать в виде: x2 - 8x + 15 > 0 (Этот трехчлен не может равняться нулю, как знаменатель дроби). Корни соответствующего ему квадратного уравнения:    x1 = 3;   x2 = 5.
Нанесем полученные значения на ось.
рисунок
Нижняя скоба - множество решений первого неравенства; две верхние скобы - множество решений второго неравенства. Штриховкой показано множество решений системы. В ответе требуется написать сумму всех различных целых решений данной системы. Искомая сумма равняется 1 + 2 = 3.
Ответ. 3.

          Задание 10. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки с длинами 4 и 9. Найти площадь трапеции.
         
рисунок к задаче
Дано ABCD - трапеция. Окружность с центром в точке O вписана в трапецию и касается ее сторон в точках M, P, N, K. CP = 4; PD = 9. OP = OM = ON = OK - радиусы окружности.
         
Решение. Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу. Значит, OP ⊥ CP, OM ⊥ BC. Следовательно, треугольники OCP и OMC - прямоугольные и равны по катету и гипотенузе, так как OP = OM, а OC - общая. Аналогично треугольник ODN равен треугольнику OPD. Т.е. ND = PD = 9; MC = CP = 4. Следовательно HD = 5. Из треугольника HDC по теореме Пифагора находим высоту трапеции - CH.
математическая запись
математическая запись
BC = BM + MC = 10; AD = AN + ND = 15. Значит,
математическая запись
. Ответ. 150.

          Задание 11. Упростить выражение
математическая запись
и найти его значение при t = - 1,92.
          Решение.
математическая запись
Подставим значение t = - 1,92:
математическая запись


          Задание 12. На изготовление 437 деталей первый токарь затрачивает на 4 часа меньше, чем второй токарь на изготовление 483 таких же деталей. Известно, что первый токарь за час делает на 2 детали больше, чем второй. Какое минимальное время потребуется второму токарю для изготовление 525 таких же деталей?
          Решение. Пусть x деталей в час изготавливает второй токарь, тогда первый изготавливает в час x+2 детали. Составим уравнение:
математическая запись
525:21=25 часов потребуется второму токарю для изготовления 525 таких деталей
Ответ. 25

          Задание 13. а) Найти значение m, при котором графиком функции
f(x)=(6-m) · x2 + 2mx - 2 служит парабола, симметричная относительно прямой x = - 2.
б) Построить график функции f.
в) Указать промежуток убывания функции f
г) В той же системе координат построить график функции
математическая запись
д) Решить графически систему уравнений
математическая запись
е) Найти все значения параметра p, при которых прямая
математическая запись
имеет с графиком функции f не более одной общей точки.
          Решение.
а) Абсцисса вершины параболы находится по формуле
математическая запись
У параболы, симметричной относительно прямой x = - 2, xв = -2. Подставим это значение, а также значения b и a в последнюю формулу:
математическая запись
б) Строим график функции f(x)=2x2 +8x -2. Ордината вершины параболы равна -10.

график

в) Функция f(x) убывает на промежутке
математическая запись
г) Функция g(x) - гипербола. Построим график по точкам.

график

д) Определяем координаты точек пересечения графиков функций: А(-4; -2); B (-1;-8);
C(1: 8).
е) Для того, чтобы графики прямой и параболы имели одну общую точку надо, чтобы дискриминант соответствующего квадратного уравнения равнялся нулю:
математическая запись
Для того, чтобы у графиков было не более одной точки пересечения, необходимо, чтобы дискриминант
математическая запись
Репетитор по математике 8-968-423-95-89 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.