Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва

Быстрый устный счёт. Ещё некоторые приёмы


         С тех пор, как я выложил на сайт статью "Навыки быстрого устного счёта" прошёл почти год. Как показывает статистика сайта, страница с той статьёй оказалась одной из самых посещаемых. Кроме того, статья оказалась перепечатанной на другом сайте с ссылкой на источник. Эти обстоятельства доказывают, что в современной школе совершенно не учат устному счёту, даже вопреки тому, что на различных экзаменах (в том числе ЕГЭ) ошибки в вычислениях (без калькулятора) занимают солидный процент от всех ошибок. Как только спрашиваю учеников различных математических школ, — а как они считают, тут же получаю ответ — конечно, столбиком и только столбиком. Если спрашиваю их, а знают ли они что-то о быстром устном счёте, то они разводят руками и отвечают, что никогда о таком не слышали, что в школах этому не учат. Этому не учат и многие репетиторы. Один ученик, учащийся математического лицея, как только я ему показал некоторые несложные приёмы устного счета, заявил мне, что его этому не учат в школе, а из пяти репетиторов, что у него уже были, только я один рассказал ему об этом. Конечно, в этом плане наблюдаются некоторые позитивные сдвиги — в последнее время школьникам стали запрещать пользоваться калькуляторами не только на экзаменах, но и вообще на уроках математики. Однако, запрещая калькулятор, учителя не дают ничего взамен столбику.
         Эта ситуация не может не удручать, особенно если вспомнить, что приёмам быстрого устного счёта учили как более ста лет назад, так и в советской школе. Тогда не было калькуляторов, и в уме считали за неимением оных, т.е. от безысходности. С появлением калькуляторов даже в учебники стали включать главы, в которых приводились упражнения на применение калькуляторов. Однако быстро спохватились: сейчас не встречаются ученики, которых в школе обучают пользоваться калькуляторам на уроках математики. Но вот с техникой быстрого устного счёта всё остаётся
по-прежнему. В последнее время в Интернете появились как подзабытый способ умножения на 9 на пальцах, описанный в книгах по занимательной математике советских времён, так и методика извлечения квадратного корня из любого числа без калькулятора. Первый способ имеет весьма ограниченное применение и подходит разве что ученикам младшей школы, только учащих таблицу умножения на 9, а второй включает в себя пять шагов, которые ещё надо запомнить. А если учесть тот факт, что на уроках математики и на экзаменах от ученика не требуется извлекать арифметический квадратный корень без калькулятора — таких примеров не встречается, — то становится понятным, что этот метод имеет весьма ограниченное применение. И если уж учить школьников навыкам быстрого устного счета — что правильно, то надо учить тем приёмам, которые помогут им на уроках школьной математики или на экзаменах. Так, чтобы извлечь арифметический квадратный корень из какого-либо пяти-шестизначного числа, что порой встречается на экзаменах (например, ОГЭ), то если это нельзя это сделать с помощью справочных материалов, дающихся на экзамене (таблицы квадратов), надо просто напомнитьм, что для этого надо разложить число под корнем на множители, что изучалось в 6-м классе. А для того, чтобы оценить, чему приблизительно равен арифметический квадратный корень из 2-х, из 3-х, из 5-ти и т.д. надо просто уметь пользоваться всё той же таблицей квадратов или помнить наизусть эту таблицу хотя бы до 20-ти.
         В этой заметке хотелось показать некоторые способы быстрого устного счёта, не вошедшие в мою первую статью на эту тему.
         Так, в предыдущей статье приведены пример умножения 39 * 26, основанный на разложении перемножаемых чисел на простые множители и знании таблицы квадратов, пример 37 * 43, основанный на применении формулы разность квадратов. Это — не единственные приёмы быстрого устного умножения двухзначных чисел. Вот ещё несколько.
         Предположим, надо умножить 64 на 67.

64 * 67 = 64 * 66 + 64 * 1 = (65 – 1) * (65 + 1) + 64 = 4225 – 1 + 64 = 4288

Как можно заметить, здесь применяется всё та же формула разность квадратов и возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

         А вот другие числа и другой способ. Если, по крайней мере, одно из двух перемножаемых чисел чётное, да ещё и делится хотя бы на 4, то иногда работает следующий приём. Предположим, надо умножить 48 на 17. Делаем так — чётное число делим на два, нечётное — умножаем на два и так преобразуем произведение несколько раз, пока не получится или результат, или числа, которые легко умножаются друг на друга.

48 * 17 = 48 : 2 * 17 * 2 = 24 * 34 = 12 * 68 = 6 * 136 = 3 * 272 = 816

         Следующий приём обычно применяется тогда, когда перемножаются два числа, близкие к 100. Рассмотрим, например, умножение 97 * 88. Алгоритм вычисления таков: Понятно, что получится четырёхзначное число. Последние две цифры получаются, если перемножить числа, недостающие обоим множителям до 100.
Т.е. 100 – 97 = 3 и 100 – 88 = 12. И 3 * 12 = 36.
Первые две цифры получаются вычитанием из одного числа (любого) разницы, недостающей второму до 100.
Т.е. 97 – 12 = 85 или 88 – 3 = 85. Итого: 97 * 88 = 8536.
         Почему так получается и почему это работает тогда, когда числа близки к ста? Доказать такой способ умножения можно в 7-м классе после изучения темы «Умножение многочлена на многочлен». Действительно:

97 * 88 = (100 – 3) * (100 – 12) = 100 * 100 – 100 * 12 – 3 * 100 + 3 * 12 =
= 100 * (100 – 12) –– 3 * 100 + 36 = 100 * (88 – 3) + 36 = 100 * 85 + 36 = 8536

Или если не выводить правило, а воспользоваться им:

97 * 88 = (88 – 3) * 100 + 3 * 12 = 8536

         Можно доказать этот способ в общем виде, представив каждое число как (100 – a) и (100 – b), однако куда интереснее представляется ответ на вопрос, когда этот метод уместно применять, т.е. что значит «числа, близкие к 100»? Точный ответ дать тут вряд ли возможно, поскольку он зависит опять-таки от умения перемножать в уме двузначные числа, или же однозначное на двузначное число. Например, перемножим этим способом 88 на 83: 12 * 17 = 204. Последние две цифры результата — 04. 2 надо будет прибавить к первым двум цифрам. Т.е. 83 – 12 = 71. Прибавляем 2. Получаем 7304. Ясно, что как только последние две цифры получить в уме станет неудобно, то пользоваться этим методом будет ни к чему. Но у каждого способности в этом, несомненно, разные.
         Теперь несколько слов хотелось бы сказать про деление на все те же «узловые» числа — 15, 25, 75, 125, 375 рассмотренные в предыдущей статье.
Число 15 — это 3/2 * 10. Значит, если мы делим на 15, то число должно делиться на 3, после чего умножаться на 2, а потом делиться на 10. Поделить на 10 означает перенести запятую на одну цифру влево. Например:

129 : 15 = 129 : 3 * 2 : 10 = 43 * 2 : 10 = 8,6

Аналогично делим число, делящееся на 3, на 75. Например:

249 : 75 = 249 : 3 * 4 : 100 = 83 * 4 : 100 = 332 : 100 = 3,32

         Ещё проще делить устно на 25. Разделить на 25 — это всё равно, что умножить на 4 и разделить на 100 переносом запятой на два порядка. Например:

282 : 25 = 282 * 4 : 100 = (800 + 320 + 8) : 100 = 1128 : 100 = 11,28


         А как делить на 125 или 375? Насчёт 125 всё достаточно просто. Так как 125 — это 1/8, умноженная на 1000, то разделить на 125 означает умножить на 8 и перенести запятую на три порядка влево. Например:

35 : 125 = 35 : (0,125 * 1000) = 35 : 1 * 8 : 1000 = 35 * 8 : 1000 = 0,28
.
         Что касается деления на 375, то важно помнить, что это число содержит
множитель 3, а значит, не каждое число поделится на 375 без остатка, а только то, которое делится на 3. Например, поделим 87 на 375. Согласно признаку делимости, это число делится на 3. То есть

87 : 375 = 87 : (0,375 * 1000) = 87 : (3 : 8 * 1000) = 87 : 3 * 8 : 1000 = 29 * 8 : 1000 =
= 8 * (30 – 1) : 1000 = 232 : 1000 = 0,232

         Первый этап можно выполнить и по-другому, сократив дробь 87/375 на 3.
87 : 3 = 29. 375 : 3 = 125. Получилась дробь 29/125. Теперь осталось 29 умножить на 8 и в полученном результате перенести запятую на три порядка влево.
         Порой ученики спрашивают, а можно ли как-то упростить умножение, если число оканчивается на 5, но не входит в группу «волшебных» чисел 15, 25, 75 и перемножаемые числа небольшие, что наверняка предполагает какой-то быстрый способ счёта? Например, умножим 77 х 35 устно. Можно взять 77 три раза и прибавить половинку от 77, и не забыть всё умножить на 10 или выполнить эти действия в обратном порядке.

77 * 35 = 77 * 3 * 10 + 77 * 10 : 2 = 2310 + 38,5 * 10 = 2310 + 385 = 2695


         А что делать, если умножить надо, например, на 85? Неужели число, умножаемое на 85 надо взять 8 раз и прибавить его половинку? Конечно, в таких случаях можно поступить иначе. Например:

37 * 85 = 37 * (100 – 15) = 3700 – 37 * 1,5 * 10 = 3700 – (370 + 185) = 3145


         Хотя здесь, безусловно, проще поступить иначе: 85 умножить на 40 и из полученного результата вычесть 85 * 3 = 255. Этот пример лишний раз доказывает тот факт, что нельзя воспринимать какой-то один метод как единственный для группы чисел, обладающих похожим свойством, и что многообразие приёмов и применение наиболее удобного в каждом конкретном случае позволит действительно облегчить вычисления.
         Я намеренно обхожу вниманием более простые и часто описываемые методы вроде умножения на 99 или 999, на 11, 22 и другие числа, содержащих в себе множитель 11, умножение на 37, основанное на том, что 37 * 3 = 111. Некоторые из этих методов легко получаются и потому часто приводятся. Другие вроде умножения на 37 имеют слишком узкое применение. И удобны только в том случае, если надо умножать на 37, причём в том случае, если умножаемое число не кратно 3, то всё равно требуется два этапа. Например:
27 * 37 = (27 : 3) * 3 * 37 = 9 * 111 = 999

А если умножаемое на 37 число не кратно 3, то надо прибавлять или отнимать 1:

28 * 37 = (27 + 1) * 37 = 27 : 3 * 3 * 37 + 1 * 37 = 999 + 37 = 1036


         Я также обхожу стороной некоторые «приёмы», которые часто не облегчают счёт, а усложняют. Например, на одном сайте мне встретился такой любопытный метод деления на 8. Берётся число 6144 и делится на 8 следующим способом. 6144 : 8 = (5600 + 544) : 8 = 700 + 544 : 8 = 700 + (480 : 8 + 64) : 8 = 700 + 60 + 8 = 768. Неужели не проще разделить 6144 на 2, а потом на 4? 6144 : 2 = 3072. 3000 : 4 = 750, 72 : 4 = 18. Итого 750 + 18 = 768.
         В некоторых странах существуют и другие методики счёта. Например, в Японии учеников первого класса учат перемножать трехзначные числа до того, как они учат таблицу умножения. Известен также индусский способ умножения, заменяющий, по сути, привычный столбик. Но к чему нам изучать методы умножения, которые основаны не на нашей школьной программе? Упомянутые мною способы основаны на традиционной отечественной школьной программе. Эти способы позволяют ученику применять знания, полученные в школе, стимулируют к изучению и запоминанию формул и несложных алгоритмов, к "дружбе" с дробями, к поиску своих собственных приёмов быстрого устного счёта, основанных именно на отечественной школьной программе. И это куда более полезно, чем вникать в зарубежные методики. Наконец, умение считать в уме развивает у школьников память и математическое мышление. Все эти приёмы показывают, что какого-либо универсального удобного метода перемножения двухзначных чисел не существует, и многое зависит от самих чисел. Однако знание множества приёмов позволяет школьнику лучше «чувствовать» числа и понимать, как лучше выполнить то или иное действие.
         Наконец, для тех, кто хочет испытать свои способности в быстрых вычислениях, с использованием именно приёмов быстрого устного счёта, применяемых по сути в письменных примерах, я предлагаю "тесты на вычисления на время". Основное отличие этих примеров от обычных школьных уровня 5-6 класса состоит в том. что в них нет действий с большими числами. которые можно выполнить только столбиком. Т.е. они рассчитаны на то, что в них будут применяться приёмы, перечисленные в двух моих статьях на эту тему.

© Александр Анатольевич, репетитор по математике, Москва, 8-969-423-9589.

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.