|
Задания по МАТЕМАТИКЕ 2019 ДЕМО для направлений «Информатика, инженерия и математика», «Экономика и математика» Задание 1. Решить уравнение: Решение: Для начала рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) Решение этой системы показано на рисунке: То есть Теперь перейдём к решению уравнения. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: Решим первое уравнение: Решим второе уравнение: Решением второго уравнения будет x4 = 1, так как x = —1 не удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, решением уравнения являются два совпадающих корня x2 = x4 = 1. Остальные получившиеся корни уравнений не удовлетворяют ОДЗ. Ответ. 1. Задание 2. Две бригады проложили Красный цвет — график движения первой бригады, синий цвет — график движения второй бригады. Таким образом, вторая бригада начала своё движение в точке, отстающей от точки начала движения первой бригады на 700 метров. Если вторая бригада проходила в день 2 метра, то коэффициент k в уравнении прямой y = kt + b равняется —2, если она проходила в день 3 метра, то, соответственно —3. Уравнение прямой на втором участке движения второй бригады можно найти по точке A (50; 600) и коэффициенту k = —3. Для того, чтобы определить через сколько дней после начала работы туннель был проложен, необходимо найти абсциссу точки пересечения графиков. Для того, чтобы определить сколько метров проложила первая бригада, надо найти ординату точки пересечения графиков, для чего 125 дней умножить на 3. Получится 375 м. Вторая бригада проложила таким образом 700 — 375 = 325 м. Задание 3. Найдите все значения принимает неотрицательные значения. Решение: Рассмотрим данную функцию. Область определения функции: Нули функции. X = 0; X = 3. Нанесём на числовую ось область определения квадратного корня: Теперь проставим на эту же ось нули знаменателя. При этом эти точки будут выколотыми, так как они не удовлетворяют области определения неравенства. Так как —2 не удовлетворяет области допустимых значений числителя, то знаки дроби около этой точки можно не рассматривать. Теперь проставим знаки дроби в каждом из трёх интервалов внутри «красного» участка. Синим цветом обозначено решение неравенства. В решение попадает таким образом интервал от 0,5 до 2, а также точки 0 и 3, так как неравенство нестрогое и в этих точках значение дроби равняется нулю. Задание 4. В равнобедренной Пусть BH = CM — высота трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник CMD. ∠СDM=60° (по условию), значит, ∠MCD=30°. Отсюда следует, что MD = 1/2 CD = 7,5. Следовательно, MD = AH = 7,5. Откуда HM = BC = 15. Значит, треугольник BCD — равнобедренный. ∠BCD = 120°. ∠CBD = 30°. Так как ∠ABC = ∠BCD, то ∠ABD = ∠ABC — ∠CBD = 120°—30°=90°. Таким образом, диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Радиус окружности, описанной около трапеции равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABD. Так как треугльник ABD — прямоугольный, то его гипотенуза AD является диаметром окружности. Значит, радиус описанной окружности равен 1/2 AD = 15. Площадь трапеции: Задание 5. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств имеет единственное решение. Решение: Рассмотрим три случая: I. Если a < 0, то решений нет, поскольку модуль не может быть отрицательным числом. II. Если a = 0, то из первого неравенства x = 3. Проверим, не противоречит ли это значение второму неравенству системы: III. Если a > 0, то можно переписать каждое неравенство системы в виде двойного неравенства: Каждое из этих двух двойных неравенств обозначает промежуток на числовой оси. При этом одно решение у системы может быть только в случаях, если эти промежутки будут иметь только одну общую точку. Схематично это можно показать на рисунках: Рассмотрим первый вариант: 2a — 5 = 3 + a, откуда a = 8. Второй вариант: 2a + 5 = 3 — a. Откуда a = — 2/3. Однако значение a должно быть больше нуля, (третье неравенство системы a > 0). Значит, этот вариант не подходит. При a = 8 система имеет одно решение x = 11. Таким образом, Ответ: a1 = 0, a2 = 8. Задания по МАТЕМАТИКЕ 2019 ДЕМО для направленя «Математика» Задание 1. Решите неравенство: Решение: Перепишем неравенство в следующем виде: Числитель дроби преобразуем по формуле куб разности, а затем применим формулу сумма кубов: Выражение в правой скобке числителя — неполный квадрат, который, как известно и как легко можно доказать, всегда больше нуля. Значит, неравенство можно записать теперь в следующем виде: Задание 2. Найдите наибольшее натуральное число n, Значит, наибольшее натуральное число n равно количеству множителей «3» в этом произведении. Выпишем из произведения 107! только те множители, которые содержат «3»: Обратим внимание на тот факт, что все эти множители включают в себя как минимум одну «тройку», и чтобы найти их количество, можно воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии, однако некоторые из них, например, 9, 18, 27, 36, 45… содержат уже не менее двух «троек», а некоторые из них, например, 27, 54, 81 — не менее трёх «троек», а число 81 — четыре «тройки». Поэтому чтобы не ошибиться в подсчёте, посчитаем сначала количество множителей, содержащих как минимум одну «тройку», затем добавим количество «вторых троек» из тех множителей, где, как минимум две «тройки», после те, где есть «третья тройка», и наконец четвёртую «тройку» в числе 81: Теперь подсчитаем количество членов арифметической прогрессии 9, 18, 27, 36, … , 99: Количество множителей, кратных 27-ми равно трём, а множитель, кратный 81 — всего один. То есть всего троек в записи 107! равно 35 + 11 + 3 + 1 = 50. Таким образом n = 50. Ответ. 50. Задание 3. Конькобежцы Иванов, Петров и Сидоров одновременно стартуют из одного и того же Перепишем систему уравнений в следующем виде: Вычтем из верхнего уравнения среднее и получим систему, которая легко приводится к уравнению с одним неизвестным: Ответ. 50 секунд. Задание 4. Изобразите множество Решение: Перепишем условие в следущем виде: Решение первого неравенства — множество точек, попадающих в круг, ограниченный Задание 5. Окружность проходит Решение: Обозначим расстояние от точки K до прямой CD как KM. Задание 6. Найдите все значения параметра имеет четыре различных корня. Решение: Нетрудно заметить, что при Из рисунка видно, что для того, чтобы увадратное уравнение имело бы Учтём эти соображения при раскрытии модулей. В нашем случае коэффициент при t2 равен единице. Значит, это условие зависит только от свободного члена — от c. Рассмотрим четыре случая: Александр Анатольевич, репетитор по математике в лицей НИУ ВШЭ. |
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. |