Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Задачи на числа. Часть II: Свойства и теория чисел.
.
         В последнее время в школах становится особенно популярными задачи на числа и их свойства. Все они соответствуют ЕГЭ по математике (задание 19), но как показывает опыт, теперь школьникам они предлагаются для решения не только в 11-м классе в качестве подготовки к ЕГЭ, но и в других классах. В минувшем учебном году (2018/2019) такие задачи мне, как репетитору, встретились практически одновременно и на занятиях с учениками, готовящимися к сдаче ЕГЭ, и на занятиях с восьмиклассниками, готовящимися к сдаче вступительного экзамена в лицей при ВШЭ, и на занятиях с шестиклассником. Причем шестикласснику школьный учитель предложила прорешать такие задачи в качестве подготовки к экзамену в рамках проекта "Математическая вертикаль". Таким образом, такие задачи вполне могут встретиться и на олимпиадах 6-го класса. Поэтому целесообразно их также разбирать в качестве подготовки к олимпиадам 5-6-го классов.

         Задача 1
         Найдите наибольшее четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25.


          Решение. Для того, чтобы число было кратно 15, надо, чтобы оно делилось на "3" и на "5". Число делится на "5", если оно оканчивается на "0" или на "5". Но так как по условию произведение цифр этого числа больше нуля, то последней цифрой может быть только "5". Для того, чтобы число делилось на "3" надо, чтобы сумма цифр этого числа делилась на "3". Так как одна из цифр числа - "5", то подберём три оставшиеся цифры числа так, чтобы их сумма вместе с цифрой "5" была кратна трём и чтобы произведение всех четырёх чисел было бы больше нуля, но меньше 25-ти. Получается единственная возможная комбинация:

1, 1, 2, 5


          Наибольшее число, удовлетворяющее условию, таким образом - 2115.

         Задача 2
         Сумма цифр трёхзначного натурального числа A делится на 12. Сумма цифр числа (А+6) также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число A.


          Решение. Перебрав несколько вариантов двух чисел, отличающихся на 6, сумма цифр каждого из которых равна 12, обнаруживаем, что такой вариант невозможен. Однако для того, чтобы сумма цифр числа делилась бы на 12, вовсе необязательно, чтобы она равнялась 12. Может быть и вариант, когда сумма цифр равна 24. Поскольку максимальная сумма цифр трёхзначного числа может равняться 27 (9+9+9), то вариантов, когда сумма цифр равна 24 не так уж и много. Все возможные варианты таких чисел могут состоять из следующих цифр:

9, 9, 6
9, 8, 7
8, 8, 8
Наименьшее возможное число. которое можно составить из этих комбинаций - 699. Теперь предположим, что это искомое число. Тогда другое должно быть больше 699 на 6. Т.е. второе число - 705. Сумма цифр этого числа делится на 12 (7+5). Значит, искомое число равно 699.
Задачи


         1) Найдите наибольшее трехзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

         2) Найдите четырехзначное число, которое делится на 17, больше 1698, но меньше 1770, все цифры которого различны.

         3) На доске записаны два последовательных натуральных числа. Известно, что сумма цифр каждого из них кратна пяти. Какое минимальное значение может принимать сумма записанных чисел?

         4) Трёхзначное число при делении на 10 даёт в остатке 3. Если последнюю цифру числа перенести в начало его записи, то полученное число будет на 72 больше первоначального. Найдите исходное число.

         5) Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны.

         6) Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 12, любые две соседние цифры которого отличаются на 2.

         7) Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 3 и делится на 24.
         Подсказка репетитора по математике. Для решения задачи необходимо знать признак делимости на 8.

         8) Найдите наименьшее восьмизначное число, которое записывается только цифрами 0 и 2 и делится на 120.

         9) Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24.

         10) Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится на 16.

         11) Цифры четырёхзначного числа, кратного 5. записали в обратном порядке. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. в ответе укажите наименьшее возможное первое число.

         12) Трёхзначное число при делении на 5, 7 или 11, даёт один и тот же остаток, равный 2. Найдите это число, если все цифры в нём разные.

         13) Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6, даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо.

         14) Шестизначное число записывается при помощи одной цифры и делится на 65. Найдите это число.

         15) Произведение цифр четырёхначного числа равно 30. Найдите это число, есди оно равно пятой степени одной из своих цифр.

         16) Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 36, произведение цифр которого больше 12, но меньше 18.

         17) Найдите наибольшее чётное четырёхзначное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения.

         18) Вычеркните в числе 84164718 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы