Навыки быстрого устного счета
Эта статья была написана мною несколько лет назад для одного репетиторского сайта. При размещении администратор сайта исказил не только мою фамилию, но и цель моей статьи. Я предназначал ее школьникам, а администратор того сайта переадресовал ее…. начинающим репетиторам, озаглавив «Какие вычисления производит репетитор по математике в уме?» При этом обозначенный им потолок устного счета в его статье на эту тему сводится только к вычислению в уме умножения двузначного числа на однозначное. Он пишет: «Допустим, это 29×7 . «Звуковая дорожка» от репетитора может быть следующей: «29 это двадцать и 9. Двадцать на 7 будет …. (ученик отвечает 14) , а 9 на 7 будет …. (ученик отвечает 63). Сто сорок и шестьдесят три будет …» » Мало того, что в этом тексте есть ошибка (Двадцать на семь будет 140, а не 14) — надо же проверять, считывать написанное (!!!), мало того, что гораздо удобнее тридцать умножить на семь и вычесть семь, так этот приём в статье того репетитора — единственный (????) в вопросе устного счета. Что же получается? Навыки быстрого устного счета излишни для школьников и ими могут пользоваться только репетиторы? А вот и нет! На моих занятиях я всегда приветствую, когда ученик стремится считать в уме. Да, этому, как правило, не учат в школе. Но как показывает опыт, использовать навыки быстрого устного счета при желании может каждый школьник. И это само по себе полезно, поскольку позволяет «чувствовать» числа и понимать, сколько может получиться при умножении, а сколько не может. Важно только научиться мыслить немножко не так, как учат в школе. И ведь эти приемы могут пригодится школьнику в течение всей школьной программы, и на экзаменах, где, как известно, не разрешается пользоваться калькулятором. Например, требуется из 11531 вычесть 9487. Как учат в школе? Надо написать столбик, при этом постоянно занимая, считая разность. Между тем, если несколько раз занять, то можно легко ошибиться, где занял, а где нет. А можно подсчитать это в уме совсем другим способом, даже не думая столбиком. Можно заметить, что в уменьшаемом цифры в основном маленькие, а в вычитаемом в основном большие. Тогда считаем таким образом: На сколько 11531 больше, чем 11000? — На 531. На сколько 9487 меньше, чем 10000? — На 513. Между 11000 и 10000 — одна тысяча. Этот приём удобнее всего запомнить с помощью рисунка: А теперь разберём пример посложнее — умножение. Сколько будет 64 * 15? Что такое 15? 15 — это 1,5 * 10. Как число умножается на 1,5, т.е. на полтора? Для этого надо к этому числу прибавить половинку от него самого. Теперь умножим 84 на 25. Аналогичный пример, но в этом случае можно подсчитать разными способами. Можно рассматривать И приписываем ноль. А можно и по-другому. 84 * 0,25 * 100. То есть разбиваем 25 на 0,25 и 100. Зачем нам это надо? Дело в том, что 0,25 это ¼ (одна четвёртая). Иными словами, 84 делим на 4, получается 21, и приписываем два ноля. Получается те же 2100: Может показаться, что подобные приемы едва ли могут понадобиться в школе, что в школьной программе встречаются только примеры типа 29×7. Между тем в некоторых учебниках полным полно примеров, которые подразумевают применение методов быстрого счета, важно только суметь распознать эти методы. Важно отметить в этой связи, что в учебниках 6-го класса нередко встречаются задания «Вычислить наиболее рациональным способом», а в учебниках следующих классов такие задания обычно отсутствуют. Это не означает, что такие методы надо забыть в старших классах. Вот, пример из реального занятия с учеником 8-го класса. Ему встретилось в одной задаче 375 * 48. Казалось бы, умножать трехзначные числа на двузначные можно только столбиком. Но результат умножения этих двух чисел легче получить в уме. Что такое 375? — Это 125 * 3. Число 125 — это 0,125 * 1000 (одна восьмая умноженная на тысячу). Следовательно, превращаем 375 в 0,375 (три восьмых) * 1000. Получаем Зная этот приём все действия получаются в уме автоматически и ученик может быть уверен, что он нигде не ошибся. Тогда как при подсчете столбиком, где фактически необходимо выполнить несколько действий, вероятность ошибки куда больше. Для быстрого устного счета неплохо знать наизусть не только таблицу умножения, но и таблицу квадратов, хотя бы до тридцати. Практика показывает, что это относительно несложно, и есть школьники с такими знаниями. К тому же это знание порой позволяет не только возводить в квадрат, но и считать в уме примеры типа 39 * 26, применяя приём разложения на «известные» множители. Нетрудно заметить, что 39 это 13 * 3, а 26 — это 13 * 2. Зная наизусть, что 13 * 13 = 169, осталось только 169 * 6. 170 * 6 будет 170 * 3 * 2 = 1020 и минус 6, получается 1014. Кстати, о таблице квадратов. Да, таблица квадратов публикуется на форзаце учебников, она публикуется в сборниках для подготовки к экзаменам, ею разрешают пользоваться на экзамене. (на 100 умножаем потому что произведение 8 * 9 даёт нам первые две цифры конечного результата). Почему так получается комментировать в рамках данной статьи не буду, отмечу лишь, что это правило действует и для трехзначных чисел, что стало встречаться, например, на ОГЭ, причем и в обратную сторону Аналогичным способом при соответствующей тренировке можно возводить в квадрат любое число из таблицы квадратов, вплоть до того, чтобы показывать фокусы быстрого счета или феноменальной памяти перед одноклассниками. Для тех, кто всё еще побаивается столь больших чисел, принцип действий можно объяснить на простом примере. 4 в квадрате. Это будет 16. Теперь возведём в квадрат 5. Это будет 25. Зная 4 в квадрате, результат следующего числа в квадрате получается прибавлением к предыдущему суммы возводимых в квадрат чисел. Например, 5 в квадрате это 4 в квадрате + 5 + 4 (т.е. 16 + 9). Ученик, поднаторевший в применении этих приемов быстрого устного счета вполне может придумать свои приемы, внимательно вглядываясь в числа и находить в них свои закономерности. Как © Александр Миров, репетитор по математике, Москва |
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. |