Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Лицей № 1580
Типовой вариант вступительного тестирования в 9-й класс по математике

          1) Решите уравнение:
уравнение

          Решение:
решение уравнения

          2) Упростите выражение:
упростить выражение

          Решение: Избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби для чего умножим числитель и знаменатель этой дроби на сопряжённое знаменателю выражение, а вторую дробь сократим, для чего числитель разложим на множители:
преобразование выражения

          3) Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
решить неравенство

          Решение:
решение неравенства

          4) Три подруги-ученицы: отличница Белова, хорошистка Чернова и троечница Рыжова собирались на дискотеку. Вдруг черноволосая заметила: "Одна из нас имеет белые волосы, другая черноволосая, а третья - рыжая. Но ни одной из нас цвет волос не совпадает с фамилией". "Да, ты права", - поддержала отличница. Какого цвета волосы были у хорошистки?
          Решение:
Внесём информацию, которая содержится в первом предложении условия и в словах черноволосой в таблицу:
белые чёрные рыжие
"5" Белова
-
?
?
"4" Чернова
?
-
?
"3" Рыжова
?
?
-

Так как отличница Белова не черноволосая, то поставим минус в соответствующей графе, после чего заполним всю таблицу:
белые чёрные рыжие
"5" Белова
-
-
+
"4" Чернова
+
-
-
"3" Рыжова
-
+
-

Таким образом, у хорошистки были белые волосы.

          5) Упростите выражение:
решение неравенства

          Решение:
          Примечание репетитора по математике: Очевидно, что знаменатель первой дроби следует разложить на множители. Для этого можно воспользоваться формулой разложения на множители с помощью корней соответствующего квадратного уравнения. Однако по некоторым программам обычной школы эту формулу проходят только в 9-м классе. Безусловно, поступающим в 9-й класс лицея, несомненно, полезно изучить эту формулу. Однако иногда разложить квадратный трёхчлен на множители несложно с помощью преобразований:
разложение трёхчлена на множители

Таким образом:
преобразование


          6) Поле было убрано двумя комбайнами, при этом первый из них работал 12 ч, а второй 15 ч. За сколько часов каждым из комбайнов можно убрать это поле, если первому потребовалось бы для этого на 11 ч меньше, чем второму?
          Решение: Примем за 1 объем работы (в данном случае - площадь поля). Так как первому для того, чтобы убрать всё поле потребовалось бы на 11 ч меньше, чем второму, то x часов потребуется на выполнение всей работы первому комбайну, а (x+11) - второму. Таким образом, производительность первого комбайна - 1/x, а второго - 1/(x+11). Так как всё поле было убрано при том, что первый работал 12 ч, а второй - 15 ч, то составим и решим уравнение:
уравнение
Таким образом, первому комбайну потребовалось бы 22 часа, чтобы убрать всё поле, а второму - 33 часа.

          7) В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=12, ∠B=30°. Найдите длину высоты CK, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе.
рисунок к задаче Решение: Так как ∠B=30°, то ∠C=60°.
Из прямоугольного треугольника AKC находим высоту AK:
из соотношений в прямоугольном треугольнике

          8) В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC. Докажите, что отрезки BF и DE равны.
рисунок к задаче

Решение: ∠BAC=∠DCA, так как отрезок AB || CD (ABCD - параллелограмм) и эти углы накрест лежащие (AC - секучщая).
Так как BE⊥AC и DF⊥AC (по условию), то прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу. Значит BE=FD.
Прямоугольные треугольники BEF и DEF равны по двум катетам (EF - общая). Следовательно, BF=DE, ч.т.д.
         условие задачи
          Решение:
рисунок к задаче

Пусть высота трапеции BM=CN=x - высота трапеции. y=AM, тогда ND=3-y. Составим систему двух уравнений с двумя неизвестными, применив теорему Пифагора для треугольников ABM и CND:
система двух уравнений
          10) Постройте график функции:
функция

Укажите, при каком значении m прямая y=m имеет с графиком только одну общую точку.

          Решение: Найдём сначала область определения функции.
ОДЗ

Преобразуем выражение:
преобразование

Графиком функции будет ломанная с выколотыми точками при x = 1 и x = 2.
график

Так как точки с координатами (1; - 4) и (2; 0) не принадлежат графику, то прямая y=m имеет с графиком только одну общую точку при m1= — 4; m2 = 0; m3 = 4.

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.