Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Лицей № 1580
Типовой вариант вступительного тестирования в 11-й класс по математике

          1) Упростите выражение:
выражение

          Решение:
решение

          2) Два каменщика выложили стены дома, работая сначала вместе 8 дней, а затем один первый каменщик ещё 7 дней. Если бы эта работа была поручена каждому в отдельности, то для её выполнения первому потребовалось бы на 7 дней меньше, чем второму. За сколько дней каждый из них может выложить стены этого дома?
          Решение:
Пусть всю работу первый каменщик может выполнить за x дней, тогда второй может выполнить всю работу за x+7 дней. Примем всю работу за единицу.
решение


          3) Решите систему неравенств
система неравенств

          Решение:
система неравенств

          Нанесём точки 1 и 2 на ось. Так как неравенство нестрогое, то в точке x=1 имеем "жирную" точку, а в точке x=2 - выколотую. Эти две точки разбивают числовую ось на три интервала. С помощью подстановки значений вместо x из каждого интервала, определим и проставим знаки, которые имеет функция на каждом интервале. Так как нас интересует, где функция принимает отрицательные значения, выделим эти интервалы дугами.

         Теперь нанесём на этот же рисунок решение первого неравенства. Так как точка 2 не удовлетворяет области опредения второго неравенства, то и на сборном рисунке она будет выколотая:

         Ответ: [-2; 1].

          4) Решите уравнение:
уравнение


          Решение:
решение


          5) Решите уравнение:
уравнение


          Решение:
решение уравнения

решение уравнения


          6) Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 12 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника.
рисунок к задаче Решение: Так как медиана CM делит прямой угол
в отношении 1:2, то ∠ACM=30°, а ∠MCB=60°.
AB=2CM=24. CB=0,5AB=12.
Площадь треугольника здесь можно найти
несколькими разными способами.
Воспользуемся одним из них:
площадь треугольника

          7) Сумма второго и седьмого членов арифметической прогрессии равна 5. Найдите сумму первых восьми ее членов.

          Решение:
решение


          8) Касательная к графику функции f(x)=3x3 - 18x2 + 37x - 3 образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Найти координаты точки касания.
          Решение:
Как известно, тангенс угла наклона касательной в точке касания равен производной функции в этой точке. Значит,
тангенс 45°

нахождение производной

нахождение производной

          9) Расстояние от точки A до всех сторон квадрата равно 5 м.
Найдите расстояние от A до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 2 м.
рисунок к задаче Решение: Пусть BCDE - квадрат,
O - точка пересечения диагоналей квадрата.
AO - искомое расстояние (AO⊥BCDE)
Проведём OH⊥DE.
По теореме о трёх перпендикулярах AH⊥DE.
Таким образом, AH - расстояние от точки A
до стороны квадрата DE.
По условию AH = 5. BD = 2. Значит, OD = 1.
Из прямоугольного треугольника ODH имеем

Из прямоугольного треугольника AOH находим AO
По теореме Пифагора:


          10) Найдите все значения параметра a, при которых парабола
парабола
вся расположена ниже прямой y=7.
          Решение: Для того, чтобы вся парабола была расположена ниже прямой y=7 необходимо, чтобы её ветви были направлены вниз, для чего нужно, чтобы a+2 < 0, а ордината её вершины должна быть меньше 7. Исходя из этих условий и вспомнив, что
ордината вершины
имеем систему неравенств:
система неравенств

система неравенств

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.