Взвешивания

Главная	Отзывы	Статьи	Методики	Варианты	Олимпиадные задачи	Разное

Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич	+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва

Задачи на взвешивания

          Обычно репетиторы по математике занимающиеся олимпиадной математикой
с 5-6-классниками, под задачами на взвешивание понимают только такие, в которых требуется определить количество взвешиваний для определения фальшивой монеты или же рассказать, как определить фальшивую монету с помощью заранее заданного количества взвешиваний. Бесспорно, такие задачи, нацеленные на формирование у ученика способностей к логическому мышлению, при условии определённой оторванности этого типа задач от школьной программы учат школьника думать, размышлять и делать выводы.
          Однако на моих занятиях к задачам на поиск фальшивой монеты, я добавляю и некоторые другие задачи, для решения которых требуется использовать простейшие уравнения и метод весов. Опыт показывает, что такое ненавязчивое знакомство школьников с уравнениями, в качестве модели которых могут рассматриваться весы и взвешивания, позволяет им в дальнейшем лучше понимать уравнение и не бояться его, как порой это бывает в школах, в которых учителя преподносят тему уравнения как что-то чрезвычайно сложное. Особенно это относится к пятиклассникам, которые ещё не знакомы с отрицательными числами и потому не приходили по школьной программе уравнения, в которых переменная находится в обеих его частях - и слева и справа от знака "=". Задачи на уравнение, рассматриваемые в этой теме, обычно формируют у ученика внимательность и потребность в самопроверке.
         Ниже приведены как классические задачи на взвешивания, так и задачи на простейшие уравнения, в том числе и такие, для решения которых, казалось бы, нужна система уравнений с тремя неизвестными, но путём несложных манипуляций по методу весов, пятиклассники быстро справляются с ними.

Задачи

         1) Имеется 27 монет. 26 из них настоящие, а одна фальшивая, тяжелее остальных. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

         2) Имеется 8 монет. 7 из них - настоящие, а одна - фальшивая, легче остальных. Сколько потребуется взвешиваний, чтобы на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

         3) Из трёх монет одна фальшивая, причем неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Как найти её за два взвешивания и определить, легче она или тяжелее настоящей?

         4) Имеется 11 монет. 10 из них - настоящие, а одна - фальшивая, причём неизвестно легче она или тяжелее. Сколько потребуется взвешиваний, чтобы на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

          Примечание. Иногда ученики, решившие немало таких задач с разным количеством монет, спрашивают, а существует ли решение этой задачи, с обеими её разновидностями (Задача 1 и 2 или Задача 3 и 4) в общем виде? Т.е. можно ли вывести формулу при подстановке в которую количества данных монет, всегда получался бы ответ на вопрос, сколько взвешиваний необходимо, чтобы определить фальшивую монету? К сожалению, пятикласснику или шестикласснику придется довольствоваться только общим алгоритмом, а для того, чтобы вывести саму формулу, необходимы знать определение логарифма, которое проходят, в зависимости от учебника, в 10-м или 11-м классах. В 5-м и 6-м классе можно говорить только о рассуждениях, как зависит количество монет, которые кладём на весы от общего количества монет. Эти вопросы рассматриваются в рамках моих занятий по олимпиадной математике.

         5) Имеется 10 кучек монет, в каждой кучке - по 10 монет. Одна из кучек целиком состоит из фальшивых монет, но какая именно - неизвестно. Визуально установить отличия во всех монетах невозможно. Известен лишь вес настоящей монеты и, кроме того, установлено, что каждая фальшивая монета на 1 грамм тяжелее, чем нужно. Монеты взвешивают на пружинных весах с одной чашечкой. Можно ли одним взвешиванием определить кучку из фальшивых монет и, если можно, то каким способом?

         6) На одной чаше весов лежат 6 одинаковых по весу яблок и 3 одинаковые по весу груши. на другой чаше - 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Что легче: яблоко или груша?

         7) Задача в тему: Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд в три раза.
          А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз.
         Определить мы просим вас, сапфир ценнее иль топаз?

         8) На плохо отрегулированных весах бабушка взвесила два пакета сахарного песка - получилось 500 г и 300 г. Когда же она взвесила на тех же весах оба пакета вместе, получилось 900 г. Определите по этим данным вес каждого пакета.

         9) Бутылка и стакан уравновешиваются кувшином. Бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем. Два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами. Спрашивается. сколько надо поставить стаканов на свободную чашу весов, чтобы уравновесить бутылку?

         10) Вот крокодил и чемодан, их вес – две бочки и диван.
         Чемодан без крокодила весит две корзины ила.
         Ровно шесть корзинок ила весит черная горилла.
         Две гориллы, посмотри, сколько бочек весят?.. Три.
         И все та же обезьяна весит ровно полдивана.
         Сколько весит крокодил в пересчете на горилл?

         11) Акробат и собачонка весят два пустых бочонка.
         Шустрый пес без акробата весит два мотка шпагата.
         А с одним мотком ягненок весит, видите, бочонок.
         Сколько весит акробат в пересчете на ягнят?

         12) Коробка конфет весит 250 г. Конфеты на 200 г весят больше коробки. Сколько весит коробка?

         13) Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и правильная гиря в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы?

Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.