Вторые части демоверсий комплексного теста для поступающих в 10-й класс Лицея НИУ ВШЭ

Главная	Отзывы	Статьи	Методики	Варианты	Олимпиадные задачи	Разное

Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич	+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва

Вторая часть комплексного теста Задания по МАТЕМАТИКЕ 2019 ДЕМО для направлений «Информатика, инженерия и математика», «Экономика и математика»
.
Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Для начала рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) переменной X.
уравнение

Решение этой системы показано на рисунке:
уравнение

То есть

Теперь перейдём к решению уравнения. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Решение уравнения

Решим первое уравнение:
Решение уравнения

Решим второе уравнение:
Решение уравнения

Решением второго уравнения будет x₄ = 1, так как x = —1 не удовлетворяет ОДЗ.
         Таким образом, решением уравнения являются два совпадающих корня x₂ = x₄ = 1. Остальные получившиеся корни уравнений не удовлетворяют ОДЗ.
         Ответ. 1.

          Задание 2. Две бригады проложили туннель протяженностью 700 метров, работая навстречу друг другу. Первая бригада прокладывала ежедневно 3 метра, а вторая прокладывала по 2 метра в каждый из первых 50 дней, а потом работала с той же производительностью, что и первая.
Пусть у (м) — координата местоположения бригады, t — время, выраженное в днях. Считая туннель прямолинейным и приняв за начало координат местоположение первой бригады в первый день до начала работы, выполните следующие задания:
1) Запишите уравнения движения у = f(t) каждой бригады.
2) Нарисуйте графики движения бригад в одной системе координат.
3) Определите, через сколько дней после начала работы туннель был проложен и сколько метров проложила каждая бригада.
          Решение:
         Так как первая бригада прокладывала ежедневно 3 метра, то уравнение её движения y = 3t (красный график). Так как вторая бригада в первые 50 дней прокладывала по 2 метра, а потом — 3 метра в день, то уравнение её движения:
Запись функции

Красный цвет — график движения первой бригады, синий цвет — график движения второй бригады. Таким образом, вторая бригада начала своё движение в точке, отстающей от точки начала движения первой бригады на 700 метров. Если вторая бригада проходила в день 2 метра, то коэффициент k в уравнении прямой y = kt + b равняется —2, если она проходила в день 3 метра, то, соответственно —3. Уравнение прямой на втором участке движения второй бригады можно найти по точке A (50; 600) и коэффициенту k = —3.
Для того, чтобы определить через сколько дней после начала работы туннель был проложен, необходимо найти абсциссу точки пересечения графиков.
время встречи

Для того, чтобы определить сколько метров проложила первая бригада, надо найти ординату точки пересечения графиков, для чего 125 дней умножить на 3. Получится 375 м. Вторая бригада проложила таким образом 700 — 375 = 325 м.

Задание 3. Найдите все значения переменной х, при которых функция
Запись функции

принимает неотрицательные значения.
Решение: Рассмотрим данную функцию. Область определения функции:
Неравенство

Нули функции. X = 0; X = 3. Нанесём на числовую ось область определения квадратного корня:
ОДЗ квадратного корня

Теперь проставим на эту же ось нули знаменателя. При этом эти точки будут выколотыми, так как они не удовлетворяют области определения неравенства.

Так как —2 не удовлетворяет области допустимых значений числителя, то знаки дроби около этой точки можно не рассматривать. Теперь проставим знаки дроби в каждом из трёх интервалов внутри "красного" участка. Синим цветом обозначено решение неравенства. В решение попадает таким образом интервал от 0,5 до 2, а также точки 0 и 3, так как неравенство нестрогое и в этих точках значение дроби равняется нулю.
ответ

Задание 4. В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD угол при вершине D равен 60°. Известно, что AD=30, CD=15.
а) Докажите, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.
б) Найдите радиус описанной около трапеции окружности и площадь трапеции.
Решение:

трапеция

Пусть BH = CM — высота трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник CMD. ∠СDM=60° (по условию), значит, ∠MCD=30°. Отсюда следует, что MD = 1/2 CD = 7,5. Следовательно, MD = AH = 7,5. Откуда HM = BC = 15. Значит, треугольник BCD — равнобедренный. ∠BCD = 120°. ∠CBD = 30°. Так как ∠ABC = ∠BCD, то ∠ABD = ∠ABC — ∠CBD = 120°—30°=90°. Таким образом, диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.
Радиус окружности, описанной около трапеции равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABD. Так как треугльник ABD — прямоугольный, то его гипотенуза AD является диаметром окружности. Значит, радиус описанной окружности равен 1/2 AD = 15. Площадь трапеции:
ответ

Задание 5. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств
параметры

имеет единственное решение.
          Решение:
Рассмотрим три случая:
          I. Если a < 0, то решений нет, поскольку модуль не может быть отрицательным числом.
          II. Если a = 0, то из первого неравенства x = 3. Проверим, не противоречит ли это значение второму неравенству системы:
a=0

III. Если a > 0, то можно переписать каждое неравенство системы в виде двойного неравенства:
a=0

Каждое из этих двух двойных неравенств обозначает промежуток на числовой оси. При этом одно решение у системы может быть только в случаях, если эти промежутки будут иметь только одну общую точку. Схематично это можно показать на рисунках:
1-й случай

Рассмотрим первый вариант:
2a — 5 = 3 + a, откуда a = 8.
Второй вариант: 2a + 5 = 3 — a. Откуда a = — 2/3. Однако значение a должно быть больше нуля, (третье неравенство системы a > 0). Значит, этот вариант не подходит. При a = 8 система имеет одно решение x = 11. Таким образом,
Ответ: a₁ = 0, a₂ = 8.

Вторая часть комплексного теста Задания по МАТЕМАТИКЕ 2019 ДЕМО для направленя «Математика»

Задание 1. Решите неравенство:
a=0

Решение: Перепишем неравенство в следующем виде:
a=0

Числитель дроби преобразуем по формуле куб разности, а затем применим формулу сумма кубов:
a=0

Выражение в правой скобке числителя — неполный квадрат, который, как известно и как легко можно доказать, всегда больше нуля. Значит, неравенство можно записать теперь в следующем виде:

Задание 2. Найдите наибольшее натуральное число n, при котором число 107! делится нацело на 3ⁿ.
Решение: Как известно,

Значит, наибольшее натуральное число n равно количеству множителей "3" в этом произведении. Выпишем из произведения 107! только те множители, которые содержат "3":
кратные 3

Обратим внимание на тот факт, что все эти множители включают в себя как минимум одну "тройку", и чтобы найти их количество, можно воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии, однако некоторые из них, например, 9, 18, 27, 36, 45... содержат уже не менее двух "троек", а некоторые из них, например, 27, 54, 81 — не менее трёх "троек", а число 81 — четыре "тройки". Поэтому чтобы не ошибиться в подсчёте, посчитаем сначала количество множителей, содержащих как минимум одну "тройку", затем добавим количество "вторых троек" из тех множителей, где, как минимум две "тройки", после те, где есть "третья тройка", и наконец четвёртую "тройку" в числе 81:
кратные 3

Теперь подсчитаем количество членов арифметической прогрессии 9, 18, 27, 36, ... , 99:
кратные 9

Количество множителей, кратных 27-ми равно трём, а множитель, кратный 81 — всего один. То есть всего троек в записи 107! равно 35 + 11 + 3 + 1 = 50. Таким образом n = 50.

Ответ. 50.

Задание 3. Конькобежцы Иванов, Петров и Сидоров одновременно стартуют из одного и того же места круговой дорожки. Иванов начинает движение в направлении, противоположном направлению движения Петрова и Сидорова, и спустя некоторое время встречает Петрова, а еще через десять секунд Сидорова. Через три минуты и двадцать секунд после старта Петров обогнал Сидорова на один круг. Скорости конькобежцев постоянны. Через сколько секунд после старта Иванов встретился с Сидоровым?
Решение: Примем за X (с) время, которое прошло с момента старта до мсмента встречи Иванова с Петровым. Тогда время, прошедшее с момента старта до момента встречи Иванова с Сидоровым — (X+10) (с). Длину всего круга примем за единицу.
Пусть v_и (м/с) — скорость Иванова, v_п (м/с) — скорость Петрова, v_с (м/с) — скорость Сидорова. Запишем теперь условие задачи в виде системы уравнений (3 минуты и 20 секунд = 200 секунд):

Перепишем систему уравнений в следующем виде:
система уравнений

Вычтем из верхнего уравнения среднее и получим систему, которая легко приводится к уравнению с одним неизвестным:
система уравнений

Ответ. 50 секунд.

Задание 4. Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

Решение: Перепишем условие в следущем виде:

Решение первого неравенства - множество точек, попадающих в круг, ограниченный условием первого неравенства. Решение второго неравенства - множество точек над и под параболой, осью симметрии которой является ось OX. Таким образом, решение системы - это точки, попавшие под две штриховки. При этом, поскольку второе неравенство строгое, то график необходимо изобразить пунктирной линией.

Задание 5. Окружность проходит через вершины C и D большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AB в точке K. Найдите расстояние от точки K до прямой CD, если длины оснований AD и BC трапеции равны 9 и 7 соответственно.

Решение: Обозначим расстояние от точки K до прямой CD как KM. Отрезок KM перпендикулярен CD. Продолжим стороны трапеции AB и CD до их пересечения в точке N.

Задание 6. Найдите все значения параметра a такие, что уравнение

имеет четыре различных корня.

Решение: Нетрудно заметить, что при раскрытии модулей в любом случае получится биквадратное уравнение. Для удобства сделаем замену переменной: x² = t > 0. Если t = 0, то данное уравнение не будет иметь четыре корня, поэтому сразу же исключим этот вариант.
Для того, чтобы биквадратное уравнение имело четыре различных корня, необходимо, чтобы уравнение с переменной t, получающееся после раскрытия модулей имело бы два положительных корня. Покажем графически те условия, при которых это выполняется. Так как, коэффициент при x⁴ = t² положителен, то ветви параболы направлены вверх.

Из рисунка видно, что для того, чтобы увадратное уравнение имело бы два положительных корня надо, чтобы дискриминант был больше нуля, ордината точки пересечения параболы с осью OY была бы положительна, а также абсцисса вершины параболы была бы положительна (красная парабола) (если вершина абсциссы отрицательна, то уравнение будет иметь два отрицательных корня (синяя парабола). То есть

Учтём эти соображения при раскрытии модулей. В нашем случае коэффициент при t² равен единице. Значит, это условие зависит только от свободного члена — от c.

Перепишем исходное уравнение в виде с заменённой переменной.

Рассмотрим четыре случая:
система

Александр Анатольевич, репетитор по математике в лицей НИУ ВШЭ.
8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей.

Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы