| Главная | Отзывы | Статьи | Методики | Варианты | Олимпиадные задачи | Разное |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич |
+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва |
|---|
в 10-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535 (углубленный уровень) Задание 1. Упростить выражение  приведя его к виду mk, в бланк ответов внеся значение k. Решение:  Ответ. 15. Задание 2. Вычислить:  Решение:  Задание 3. На рисунке изображён график движения туриста из города A в город B. Определить скорость туриста (в км/ч) после привала. 
Решение: (18 - 9):(7 - 5) = 4,5. Ответ. 4,5 км/ч. Задание 4. Найти значение выражения: 
Решение:  Задание 5. Сократить дробь. Найти значение этой дроби при t=8.  Найдём корни квадратного уравнения 5t2 - 8t - 4 = 0 D=64 - 4 · 5 · ( - 4) = 144 t1 = 2; t2 = - 0,4. Значит, 5t2 - 8t - 4 = 5 (t - 2)(t + 0,4) = (t - 2)(5t + 2) t3 - 4t2 + 4t = t (t2 - 4t + 4) = t (t - 2)2. Таким образом,  Подставив значение t=8, получаем:  Задание 6. Найти сумму всех различных корней уравнения  Решение:   или  Пусть x2= t > 0. Тогда t2 - 24t - 25 = 0; откуда t1=25; t2 = -1. Значит, x1 = 5; x2 = - 5. x1 = 5 не удовлетворяет области допустимых значений переменной. Значит, у заданного уравнения всего два корня: - 5 и 0,03. Таким образом сумма корней равняется - 4,97. Ответ: - 4,97. Задание 7. Решить систему уравнений  В бланк ответов внести наибольшее возможное значение дроби  где пара чисел (x0; y0) является рещением данной системы. Решение. Из первого уравненияя имеем x1 = 4; y2 = -3. Подставив эти значения во второе уравнение, получим: y1 = 6; x2 = - 8. Искомое отношение в одном случае равно  а в другом случае  . В ответе просят написать наибольшее значение этой дроби. Значит, Ответ. 1,5. Задание 8. В растворе спирта и воды спирта в четыре раза меньше, чем воды. Когда к этому раствору добавили 20 литров воды, получили 12%-ый раствор спирта. Сколько литров воды было в исходном растворе? Решение. Так как в исходном растворе спирта в 4 раза меньше, чем воды, то спирта в нем - 20% (0,2x), а воды - 80% (0,8x). Составим уравнение (по воде). 0,8x + 20 = 0,88 (x + 20) 0,88x - 0,8x = 20 (1 - 0,88) 0,08x = 2,4 x = 30 Следовательно, воды в исходном растворе было 0,8 · 30 = 24 л. Задание 9. Решить систему неравенств  В ответе указать сумму всех различных целых решений данной системы. Решение. Корни соответствующего первому неравенству квадратного уравнения: x2 = 1; x1 = 5. Числитель дроби второго неравенства < 0. Значит, второе неравенство можно переписать в виде: x2 - 8x + 15 > 0 (Этот трехчлен не может равняться нулю, как знаменатель дроби). Корни соответствующего ему квадратного уравнения: x1 = 3; x2 = 5. Нанесем полученные значения на ось.  Нижняя скоба - множество решений первого неравенства; две верхние скобы - множество решений второго неравенства. Штриховкой показано множество решений системы. В ответе требуется написать сумму всех различных целых решений данной системы. Искомая сумма равняется 1 + 2 = 3. Ответ. 3. Задание 10. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки с длинами 4 и 9. Найти площадь трапеции.  Дано ABCD - трапеция. Окружность с центром в точке O вписана в трапецию и касается ее сторон в точках M, P, N, K. CP = 4; PD = 9. OP = OM = ON = OK - радиусы окружности. Решение. Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу. Значит, OP ⊥ CP, OM ⊥ BC. Следовательно, треугольники OCP и OMC - прямоугольные и равны по катету и гипотенузе, так как OP = OM, а OC - общая. Аналогично треугольник ODN равен треугольнику OPD. Т.е. ND = PD = 9; MC = CP = 4. Следовательно HD = 5. Из треугольника HDC по теореме Пифагора находим высоту трапеции - CH.   BC = BM + MC = 10; AD = AN + ND = 15. Значит,  . Ответ. 150. Задание 11. Упростить выражение  и найти его значение при t = - 1,92. Решение.  Подставим значение t = - 1,92:  Задание 12. На изготовление 437 деталей первый токарь затрачивает на 4 часа меньше, чем второй токарь на изготовление 483 таких же деталей. Известно, что первый токарь за час делает на 2 детали больше, чем второй. Какое минимальное время потребуется второму токарю для изготовление 525 таких же деталей? Решение. Пусть x деталей в час изготавливает второй токарь, тогда первый изготавливает в час x+2 детали. Составим уравнение:  525:21=25 часов потребуется второму токарю для изготовления 525 таких деталей Ответ. 25 Задание 13. а) Найти значение m, при котором графиком функции f(x)=(6-m) · x2 + 2mx - 2 служит парабола, симметричная относительно прямой x = - 2. б) Построить график функции f. в) Указать промежуток убывания функции f г) В той же системе координат построить график функции  д) Решить графически систему уравнений  е) Найти все значения параметра p, при которых прямая  имеет с графиком функции f не более одной общей точки. Решение. а) Абсцисса вершины параболы находится по формуле  У параболы, симметричной относительно прямой x = - 2, xв = -2. Подставим это значение, а также значения b и a в последнюю формулу:  б) Строим график функции f(x)=2x2 +8x -2. Ордината вершины параболы равна -10.  в) Функция f(x) убывает на промежутке  г) Функция g(x) - гипербола. Построим график по точкам.  д) Определяем координаты точек пересечения графиков функций: А(-4; -2); B (-1;-8); C(1: 8). е) Для того, чтобы графики прямой и параболы имели одну общую точку надо, чтобы дискриминант соответствующего квадратного уравнения равнялся нулю:  Для того, чтобы у графиков было не более одной точки пересечения, необходимо, чтобы дискриминант  Александр Анатольевич, репетитор по математике. 8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей, в том числе и в 10-й класс физико-математического профиля и в классы других специализаций. Готовящимся к поступлению в лицей № 1535, равно как и в другие лицеи, важно понимать, что реальные варианты на вступительных экзаменах несколько отличаются от демонстрационных. Поэтому необходимо уметь решать и другие похожие задания.
|
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления. |