Задание 1. Найти значение выражения
Решение:
Задание 2.
а) Графиком линейной функции является прямая l, проходящая через точку М(-60;-175) и параллельная прямой y=3x+1535. Найти формулу этой линейной функции и построить её график;
б) Найти все значения q, при которых сразу три прямые — l и прямые, заданные уравнениями y=(3-q)x + 2q-1 и y=8x-4 — пересекаются в одной точке;
в) Найти все значения p, при которых прямая, заданная уравнением
пересекает ось абсцисс в той же точке, что и прямая l
Решение: а) Если прямая y=kx+b параллельна данной, то k=3. Подставляя это значение и координаты точки М в формулу прямой, имеем: -175=3·(-60)+b, откуда b=5. Значит, формула искомой прямой: y=3x+5.
б) Найдем координаты точки пересечения прямых:
Координаты точки (x;y) пересечения трёх прямых должны удовлетворять всем трём уравнениям системы. Из первого и третьего уравнения имеем 3x+5=8x-4, откуда x=1,8. Значит, y=10,4. Подставляя
эти значения во второе уравнение системы, находим q.
10,4=(3-q) · 1,8 + 2q — 1
0,2q=6
q=30.
в) Точка пересечения прямой l имеет ординату y=0. Значит, абсцисса этой точки
Подставляя эти значения в заданное уравнение, находим p
Задание 3. Натуральное число X при делении на 13 даёт остаток 7. Какой остаток при делении на 13 будет давать число X2-2X?
Решение. По условию
где p — частное от деления числа X на 13. Значит, X=13p+7. Подставим это значение в искомое выражение:
X2-2X=(13p+7)2 — 2 · (13p+7)=169p2+2 · 13 · 7 + 49 — 26p — 14=169p2+156p+35. 169 и 156 делятся на 13 без остатка. При делении 35:13 получается остаток 9.
Ответ. 9.
Задание 4. Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания она уменьшается на половину своей длины и на
одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь 12 см2, а после исполнения двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания?
Решение. Пусть x — длина куска кожи, а y — его ширина в тот же момент. Тогда после исполнения первого желания ширина была
а после второго
еще на треть меньше. Из чего следует, что
Так как длина уменьшается на половину после каждого исполнения желания, то после пятого исполнения желания длина будет равняться:
Ширина куска после пятого исполнения желания будет равняться
Площадь куска, таким образом, после пятого исполнения желания будет равняться:
Подставив в это уравнение полученное значение y и приравняв к 12 см2 (площадь после 5-го исполнения желания по условию), получим:
Значит, длина после исполнения первого желания была 72 см.
Задание 5. Решить уравнение: (x-2)2(x-3)=(x+1)2(x-12)
Решение. Раскроем скобки: (x2 — 4x +4)(x — 3)=(x2 + 2x + 1)(x — 12)
x3 — 3x2 — 4x2 + 12x + 4x — 12 = x3 — 12x 2 + 2x2 — 24x + x — 12
-7x2 + 16x = -10x2 — 23x
3x2 + 39x = 0
x1 = 0; x2 = -13
Задание 6. Биссектрисы углов A и B остроугольного треугольника ABC пересекаютсяв точке O. ∠ AOB=115°. Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, пересекаются в точке H. ∠ AHC=110°. Чему равны градусные меры углов треугольника ABC?
Решение.
Из прямоугольного треугольника KCA имеем
∠ KAC = 90°-∠ ACK = 90° — 30° = 60°, т.е. ∠ BAC = 60°
Оставшийся угол в треугольнике ABC равен 70°.
Ответ. 70°; 60°; 50°.
Задание 7. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 8 км, одновременно отправились два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости второго. Лыжник,
который первым прибыл в B, тут же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 мин после отправления из A. На каком расстоянии от пункта A произошла их встреча?
Решение.
Пусть x км/ч — скорость лыжника, который двигался медленнее. Тогда x + 4 км/ч — скорость другого лыжника. Так как за 45 мин (3/4 часа) оба лыжника суммарно
прошли два расстояния от A до B, то можно составить уравнение:
Согласно условию, лыжник, у которого скорость была меньше, не добрался до B, то найти искомое расстояние можно умноживего скорость на 3/4 часа.
Ответ. 6,5 км.
Задание 8. Разложить на множители:
Решения.
а) 75m2 — 30mn + 3n2 — 2n + 10m = 3(25m2 — 10mn + n 2) + 2(5m — n) = 3(5m — n)2 + 2 (5m — n) = (5m — n)(15m — 3n + 2);
б) x2 + x — 6 = x2 — 9 + x + 3 = (x — 3)(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x — 2);
в) (a + b)(a — b)3 — (a — b)(a + b)3 = (a — b) (a + b) ((a — b)2 — (a + b)2) = 2b · 2a · (a + b)(a — b) = 4ab (a + b)(a — b).
Задание 9. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.
Решение:
По теореме о внешнем угле, внешний ∠KCB треугольника ABC равен ∠CAB+∠CBA. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а CP — биссектриса, то ∠PCB=∠CBA (накрест лежащие). Значит, CP || AB. Ч.Т.Д.
Александр Анатольевич, репетитор по математике. 8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей, в том числе и в 8-й класс математической специализации
и в классы других специализаций. Готовящимся к поступлению в лицей № 1535, равно как и в другие лицеи, важно понимать, что реальные варианты на вступительных экзаменах несколько отличаются от демонстрационных.
Поэтому необходимо уметь решать и другие похожие задания.
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.