Школа № 548 «Царицыно»Вступительная работа по математике для поступающих в 9-й класс с углубленным изучением математики

Школа № 548 «Царицыно»
Вступительная работа по математике для поступающих в 9-й класс с углубленным изучением математики

          1) Выполните действия:


          Решение:



          Решение:


          2) Найдите значение выражения:


          Решение:


          Решение:


          3) Упростите выражение:


          Решение:



          Решение:


          4) Решите уравнение:


          Решение:



          Решение:
Решим уравнение с помощью разложения на множители:


          5) При каком значении параметра t имеет единственный корень уравнение:


Как известно, квадратное уравнение имеет один корень если дискриминант равен нулю. Это справедливо
для всех трёх заданий номера. Для номера а} существует и еще один случай. Если t=0, то уравнение превратится в линейное, которое также имеет только один корень.

          6) Бассейн наполняется двумя трубами за 3 часа. Первая труба, действуя одна, может заполнить
бассейн на 8 часов медленнее, чем вторая. За сколько часов заполнит бассейн одна вторая труба?

          Решение:
Пусть вторая труба может наполнить бассейн водой за x часов, тогда первая — за x+8 часов. Объём
бассейна примем за единицу. Значит, имеет место уравнение:

Решим полученное уравнение:

          7) Постройте график функции:


          Решение:


          Решение: Преобразуем выражение и построим график:

          8) Найдите наибольшее целое положительное решение системы:

          Решение:
Таким образом, наибольшее целое решение системы равно 3.

          9) Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые к гипотенузе, соответственно равны 50 см и 48 см.
Найдите стороны треугольника и его площадь.

          Дано: ABC — прямоугольный треугольник. AB — гипотенуза. CM — медиана. СМ = 50 см. CH — высота. CH = 48 см.
Найти AB, BC, AC, S_ABC

          Решение. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Значит, AB=2 CM = 100 см.

          10) Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как 5 : 3, а разность оснований равна 32 см. Найдите площадь трапеции,
если
её меньшая диагональ равна 26.


          Дано: ABCD — прямоугольная трапеция. CD : AB = 5 : 3. AD — BC = 32 см. AC = 26 см.

          Решение. Проведём CH — высоту трапеции. Пусть AB = 3x, тогда CD = 5x.
BC = AD = y, AD — BC = DH = 32 см.

          11) Известно, что при делении на 7 число a даёт остаток 2. Какой остаток получится при делении на 7 числа
2a² — 3a + 4?

          Решение. По условию

где p — частное от деления числа a на 7. Значит,
a=7p+2. Подставим это значение
в искомое выражение и преобразуем:
2 (7p+2)² — 3(7p+2) + 4 = 98p² + 28p + 8 — 21p — 6 + 4 = 98p² + 7p + 6
Таким образом, искомый остаток равен 6.

Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.