Что такое нестандартное математическое мышление
или… «я тебя так не учила»
Когда я учился в школе, то учительница математики всегда приветствовала, если ученики решали задачи наиболее
удобным способом. Причём все способы всегда разбирались в классе. Другими словами, если ученик решал задачу на контрольной, самостоятельной или в домашнем задании нестандартным
способом, то это решение всегда рассматривалось в классе и становилось известным всем ученикам. За оригинальное решение ученик получал «пятёрки», что поощряло его и одноклассников
думать и находить нестандартные способы решения. В школе я считал такой подход к обучению математики нормой, и мне казалось, что точно также преподают математику и другие учителя.
Каково же было мое удивление, когда, занявшись репетиторством, я понял, что это далеко не так, и что повсеместно встречаются школьные учителя, которые считают, что их методика –
самая лучшая, и что решать задачи ученику надлежит именно так, как требует школьный учитель и никак иначе. Даже если ученик предлагает свой, куда более простой способ, всё равно
от него требуется решать задачу методом школьного учителя, иначе за правильное, но другое решение он рискует получить «тройку» с гневным пояснением в тетради: «Я тебя так не учила»
с подозрением в том, что ученик или с кем-то занимается или где-то списал решение. А если «тройку» и не ставят, то демонстрируют настороженность и начинают придираться к любой
мелочи, не допуская и мысли, что ученик способен решить задачу по-другому. А если решает, то непременно ему кто-то помогал, и тут у школьного учителя возникает некая ревность
к этому «кто-то». Как это порой больно бьёт по способному ученику((. И как важно суметь поддержать такого ученика на индивидуальных занятиях! У меня бывали ученики, которые
в обычной школе получали «тройки», решая задачи нестандартными способами, и которые затем легко поступали в математические школы и лицеи. Об одном таком случае я рассказал
здесь.
Что же такое нестандартное математическое мышление?
|
Задача 1. В классе число отсутствующих учеников составляет 1/8 числа присутствующих. Если из класса выйдут ещё два ученика, то будет отсутствовать 20 % учеников, оставшихся в классе. Сколько всего учеников в классе? |
|---|
Считается, что это задача олимпиадного уровня. Причем задача такого типа встречалась и на школьных олимпиадах для 6-го и 7-го
классов и даже на олимпиаде для 9-го класса. Некоторую сложность тут составляет то, что обычное правило принимать за x то, что спрашивается, входит в противоречие с тем, что
за x следует принимать то, что меньше, или то, что можно легко выразить через другое. Поэтому решим задачу разными способами.
1-й способ: Пусть X учеников отсутствует в классе. Тогда присутствует в 8 раз больше, т.е. 8X. Значит, если из
класса выйдут 2 человека, то отсутствовать будет X + 2, а присутствовать 8X — 2. И когда это событие произойдёт, то будет отсутствовать 20% учеников, то есть одна пятая учеников,
присутствующих в классе. Значит,
X + 2 = 0,2(8X — 2). Откуда X = 4 и учеников в классе 32 + 4 = 36.
Это решение наиболее распространённое и лёгкое при объяснении. Поэтому учителя, рассматривая эту задачу,
придерживаются именно его, и часто недовольны, если ученик решает задачу иначе.
Между тем, эту задачу даже легче решить в уме другим способом. Был случай, когда ученик, только прочитавший условие
задачи, тут же сказал правильный ответ. Как рассуждает ученик, способный мыслить нестандартно, решающий эту задачу?
2-й способ: Уже первое предложение условия задачи позволяет сделать важный вывод, дающий возможность легко решить
задачу подбором в уме. Действительно, общее число учеников в классе кратно 9-ти, поскольку количество отсутствующих учеников составляет одну часть, а присутствующих – 8 таких
частей. Значит, всего частей 9. Далее можно предположить, что учеников в классе или 27 или 36, или 45 и подобрать то число, которое соответствует второму условию задачи. Например,
27 – не соответствует, 45 – не соответствует, а соответствует именно 36, так как 4 + 2 = 6, 32 — 2 = 30 и одно больше другого в 5 раз, что соответствует тому, что число отсутствующих
составляет 20 % числа присутствующих.
Но в школах современными учителями обычно такие методы решения не приветствуются, а с точки зрения нестандартно
мыслящего ученика, именно таким лёгким способом и следует решать эту задачу. В школе, где я учился в 1970-х годах, такие решения принимались наравне со стандартными методами. Более того,
учительница даже призывала искать разные способы решения одной и той же задачи, но ныне в обычных общеобразовательных школах за подобные методы, бывает, снижают оценку. У меня
бывали случаи, когда ученики обращались ко мне с просьбой рассудить, правильно ли они решили задачу, и почему школьная учительница зачеркнула такой способ решения. Мне оставалось
только посоветовать таким ученикам перейти в математическую школу, где предлагаются более сложные задачи, и нет ограничения в методах их решения.
3-й способ: На основании рассуждения о том, что число учеников в классе кратно
9-ти, можно составить и совершенно
другое уравнение.
откуда
Рассмотрим ещё одну задачу и решим ее также тремя способами.
|
Задача 2. В двух классах 6А и 6Б вместе 82 ученика. Известно, что мальчиков в этих классах поровну. Мальчики в 6А составляют 3/5 учащихся своего класса, а мальчики 6Б составляют 4/7 учеников своего класса. Сколько учащихся в каждом из этих классов? |
|---|
1-й способ (наиболее распространённый). X учеников в 6А классе, тогда
в 6Б — (82 — X). Значит,
применив основное свойство пропорции получаем:
То есть в одном классе 40 учеников, а в другом — 42 ученика.
2-й способ. Пусть x — количество мальчиков в 6А. Тогда, количество девочек в этом классе – 2/3 X.
В 6Б количество мальчиков тоже X, а количество девочек – ¾ X. Получаем уравнение:
где первые два слагаемых — количество учеников в 6А классе, а третье и четвёртое слагаемые — количество учеников в 6Б классе.
Получаем:
Значит, мальчиков в каждом классе по 24, девочек в 6А — 16, а девочек в 6Б — 18. Соответственно, в 6А — 40 учеников,
а в 6Б — 42 ученика.
Однако нестандартно мыслящий ученик вполне способен решить задачу ещё проще.
3-й способ: Если количество учеников
в 6А классе кратно пяти согласно условию (делится на 5), а количество учеников в 6Б классе кратно семи (делится на 7), то остаётся только подобрать два числа так, чтобы одно
делилось на 7, другое — на 5, а их сумма равнялась 82. На 7 делится 7, 14, 28, 35, 42, 49. На 5 делятся 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Какие могут быть суммы, удовлетворяющие
тому условию, чтобы сумма равнялась 82? 7 и 75, 42 и 40. Первый вариант помимо абсурдности не соответствует условию задачи о том, что количество мальчиков в двух классах равно.
Остаётся вариант 40 и 42. В действительности, ученики, решающие задачу этим способом, не перебирают варианты, а сразу говорят правильный ответ, поскольку сразу ясно, что
равенства мальчиков в классах не получится при существенной разнице количества учеников в обоих классах.
Метод подбора (перебора) обычно не приветствуется в школе. Считается, что им можно пользоваться только в 4-5 классах,
потому что другие методы решения задач ещё не известны, и что, начиная с 6-го класса, задачи следует решать иначе. Между тем, это не совсем так.
Во-первых, существуют олимпиадные задачи, которые можно решить только с помощью метода подбора (перебора), причём это не
какое-то «угадывание ответа», а вполне математический метод, позволяющий решать задачи, при том условии, что неизвестные – целые числа, и подбор при этом соответствует строгим
математическим выражениям или математическим свойствам.
Во-вторых, при решении уравнений высоких степеней в старших классах математических школ и лицеев, а также теперь на ЕГЭ
используется следствие из теоремы Безу, в основе которого лежит опять-таки метод подбора (перебора) корней.
В-третьих, в последнее время в варианты ЕГЭ включаются нестандартные задачи, для решения которых порой требуется именно
метод подбора (перебора) вариантов, соответствующих условию. Однако и то, и другое, и третье – темы отдельных статей.
Главное, что хотелось бы отметить, что метод подбора
(перебора) заслуживает право на существование. Хотя применять его в обычной школе порой чревато. Учителя редко принимают такие решения. Кроме того, задачи из школьной программы
обычно куда проще и быстрее решить уравнением, чем подбором, поскольку возможных вариантов может быть много, а проверка каждого варианта требует больше времени, чем решение
задачи уравнением. Поэтому метод перебора зачастую применим для решения некоторых олимпиадных задач, а также нестандартных задач ЕГЭ на числа и множества, которые предполагают
именно осмысленный перебор вариантов, соответствующих условию задачи.
Возникает вопрос, что делать родителям, если ваши дети способны решать задачи в уме нестандартными способами, не изучающимися
в школе? С тем, чтобы развивать способности ребенка, а не притуплять их, хочется посоветовать родителям, нацелить ребенка на поступление в математические школы и лицеи, где
серьёзно изучается математика. Будет большой ошибкой, вынуждать способного школьника, умеющего мыслить нестандартно, подстраиваться под школьного учителя и его требования.
Дело в том, что учитель в общеобразовательной школе нацелен на то, чтобы объяснить программу среднему ученику, а вовсе не ученику, способному нестандартно мыслить.
А если Ваш ребёнок склонен самостоятельно мыслить и решать задачи нестандартными способами, обращайтесь к репетитору по
математике, готовящему к поступлению в математические школы и лицеи.
© Александр Миров
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.