Задачи на делимость чисел

Главная	Отзывы	Статьи	Методики	Варианты	Олимпиадные задачи	Разное

Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич	+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва

Делимость

Задачи, в которых используются признаки делимости, часто встречаются на олимпиадах и нередко вызывают у школьников затруднения. Это во многом связано с тем, что в школьной программе признакам делимости отводится слишком мало часов, да и задач на тему делимости в учебниках довольно мало. В результате у учеников часто нет опыта в том, где эти признаки можно применить, кроме как для разложения на множители и нахождения НОД и НОК. Однако на тему делимости чисел встречается много олимпиадных задач. Причём эти задачи условно можно разделить на две группы. Первая — это те задачи, где требуется применить те признаки делимости, которые проходятся в школе, а вторая — задачи, в которых требуется иметь представление о более сложных признаках. Поэтому в плане подготовки к олимпиадам бывает полезно разделять занятия на делимость. Первое — посвящать "школьным" признакам делимости — наиболее простым. А на втором занятии рассматривать признаки делимости на 7, 11. 13 и рассматривать задачи, в которых эти признаки можно задействовать. На этой странице представлены задачи, ориентированные на "школьные" признаки делимости.

Задачи

         1) Ковбой Джо зашел в баp. Он купил бутылку виски за 6 доллаpов, тpубку за 9 доллаpов, 6 пачек табака и пятнадцать коpобок спичек. Баpмен сказал: "С вас 38 доллаpов 95 центов за все". Вместо ответа Джо выхватил pевольвеp. Почему он pешил, что баpмен собиpается его надуть?

         2) Налётчики огpабили почтовый экспpесс. В пеpестpелке с охpаной двое погибли, и добычу пpедстояло pазделить на шестеpых. Добычу pазделили поpовну, но один слиток оказался лишним. Вспыхнула ссоpа, свеpкнули ножи, загpемели выстpелы. Один из налётчиков был убит. Оставшиеся налётчики стали вновь делить золото, но снова один слиток оказался лишним, и снова в завязавшейся ссоpе погиб один налетчик. И так далее: каждый pаз один слиток оказывался лишним и в завязавшейся дpаке убивали одного pазбойника. В конце концов остался лишь один налетчик, котоpый тут же скончался от pан. Сколько было слитков золота, если известно, что их было менее 100?

         3) К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

         4) Про трехзначное число известно, что если от него отнять 7, то результат разделится на 7, если от него отнять 8, то результат разделится на 8, а если отнять 9, то результат разделится на 9. Что это за число?

         5) Про двузначное число X сделано 6 утверждений:
         а) X делится на 3;
         б) X делится на 5;
         в) X делится на 9;
         г) X делится на 15;
         д) X делится на 25;
         е) X делится на 45.
         Найдите все такие X, для которых будут истинны ровно три из этих утверждений.

         6) Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 или по 6 человек, то каждый раз один оставался лишним, а когда построились в колонну по 7, лишних не осталось. Каким могло быть наименьшее количество солдат?

         7) В классе учатся 27 человек, но на урок физкультуры пришли не все. Учитель разбил пришедших на две равные по численности команды для игры в пионербол. При этом в первой команде была половина всех пришедших мальчиков и треть всех пришедших девочек, а во второй — половина всех пришедших девочек и четверть всех пришедших мальчиков. Остальные пришедшие ребята помогали судить. Сколько помощников могло быть у судьи?

         8) Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали грибы. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика грибов либо вдвое больше, либо впятеро меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 грибов?

         9) Найдите два последовательных двузначных натуральных числа, у первого из которых сумма цифр делится на 8, а второе – само делится на 8.

         10) Найдите наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дает в остатке 1.

         11) Среди некоторых 13 последовательных натуральных чисел 7 чётных и 5 кратных трём. Сколько среди них чисел, кратных 6?

         12) Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

         13) Докажите, что произведение любых пяти последовательных целых чисел делится на 120.

         14) Докажите, что если a + 1 делится на 3, то и 4 + 7a тоже делится на 3.

         15) Может ли число, записываемое при помощи ста нулей. ста единиц и ста двоек быть точным квадратом?

         16) Одно число больше другого в 10 раз. Во сколько раз НОК этих чисел больше их НОД?

Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.