Задачи по криптографии
Страница будет дополнена…
Как-то, один мой коллега-репетитор позвонил мне и сказал: «Есть очень необычные задачи, есть над чем подумать». Эта задача встретилась ему на занятии с одним из учеников.
Криптография, согласно Википедии — это наука о методах обеспечения конфиденциальности (невозможности прочтения информации посторонним), целостности данных
(невозможности незаметного изменения информации), аутентификации (проверки подлинности авторства или иных свойств объекта), а также невозможности отказа от авторства. Говоря проще,
это наука о составлении зашифрованных посланий и расшифровке их. Итак,
|
Задача. Цифры 0; 1; … 9 разбиты на несколько не пересекающихся групп. Из цифр каждой группы составлены всевозможные числа, для записи которых каждая цифра группы используется ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке возрастания и n-ому числу поставив соответствие n-ую букву алфавита: осуществляется заменой каждой буквы соответствующим ей числом. Если ненулевое число начинается с нуля, то при шифровании этот нуль не выписывается. Восстановите сообщение 873146507381 и укажите таблицу замены букв цифрами. |
|---|
Решение. Несмотря на довольно мудрёное условие, задача примерно соответствует уровню 6-го класса математической школы. Во всяком случае, у меня был случай, что ее решил шестиклассник.
Для решения прежде всего надо проанализировать сообщение «873146507381». Обращают на себя внимание комбинации из трех цифр, написанных подряд 873 и 738, либо из четырёх — 8731 и 7381. Удостовериться,
что последний вариант не проходит, предлагаю посетителям страницы. Рассмотрим первый вариант. Как известно из комбинаторики (элементы которой некоторые учителя преподносят школькиом на занятиях кружка уже в 6-м классе),
количество различных комбинаций из четырёх цифр равняется 4!, т.е. 4! = 1x2x3x4=24. Количество различных комбираций из трёх цифр равняется 3!, т.е. 3!=1x2x3. Предположим,
что цифры 3,7, 8 образуют одну группу, а цифры 0; 4; 5; 6 — другую. Остаются цифры 1; 2 и 9. Считаем комбинации. Из трех цифр — 6 комбинаций (каждая цифра используется ровно один раз согласно условию), из
четырёх цифр — 24 комбинации. Из оставшихся трёх цифр получаются еще три числа. Т.е. 33 числа соответствуют 33-ти буквам алфавита. Так как в записи сообщения цифра «1» стоит обособленно, то она
соответствует числу «1», а из оставшихся цифр 2 и 9 образуется два числа. Напишем получившиеся числа: 1, 29, 92, 378, 387, 738, 783, 837, 873, 456 (ноль в начале не пишем),
465 (ноль в начале не пишем), 546 (ноль в начале не пишем), 564 (ноль в начале не пишем), 645 (ноль в начале не пишем), 654 (ноль в начале не пишем), 4056, 4065, 4506, 4560, 4605, 4650,
5046, 5064, 5406, 5460, 5604, 5640, 6045, 6054, 6405, 6450, 6504, 6540. Расположив эти числа по порядку поставим каждому числу в соответствие букву также по порядку следования букв в алфавите:
1 — А, 29 — Б, 92 — В, 378 — Г, 387 — Д, 456 — Е, 465 — Ё, 546 — Ж, 564 — З, 645 — И, 654 — Й, 738 — К, 783 — Л, 837 — М, 873 — Н, 4056 — О, 4065 — П, 4506 — Р, 4560 — С, 4605 — Т,
4650 — У, 5046 — Ф, 5064 — Х, 5406 — Ц, 5460 — Ч, 5604 — Ш, 5640 — Ш, 6045 — Ъ, 6054 — Ы, 6405 — Ь, 6450 — Э, 6504 — Ю, 6540 — Я.
Таким образом заданный текст сообщения читается следующим образом:
873 — Н, 1 — А, 4650 — У, 738 — К, 1 — А. То есть зашифровано слово «наука».
1) Найдите ключ к «тарабарской
грамоте» — тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки: «Пайцике
тсюг т «камащамлтой чмароке» — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой
неменилти».
2) Дан русский текст и его построчный перевод
на один инопланетный язык:
«Межпланетный корабль вызывает базу» — ом ку ра ля
«Сигнал корабля принят базой» — ку то ян ом
«Посадка просигналившего межпланетного корабля» — су то ку ля
Составьте фрагмент русско-инопланетного языка по этому переводу.
3) Робот придумал шифр для записи
слов: заменил некоторые буквы алфавита однозначными или двузначными числами, используя только
цифры 1, 2 и 3 (разные буквы он заменял разными числами). Сначала он записал шифром сам себя:
РОБОТ = 3112131233. Зашифровав слова КРОКОДИЛ и БЕГЕМОТ, он с удивлением заметил, что числа вышли
совершенно одинаковыми! Потом Робот записал слово МАТЕМАТИКА. Напишите число, которое у него
получилось.
4) Как-то раз Света ехала в поезде.
Чтобы не скучать, она стала зашифровывать названия разных городов, заменяя буквы их порядковыми
номерами в алфавите. Когда Света зашифровала пункты прибытия и отправления поезда, то обнаружила,
что они записываются с помощью всего лишь двух цифр: 21221-211221. Откуда и куда шёл поезд?
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.