Решения в целых числах и метод перебора (подбора)
Часто метод перебора (подбора) некоторыми репетиторами считается несерьёзным или даже нематематическим
и потому не рассматривается ни на занятиях по олимпиадной математике ни вообще. Другие считают, что такой метод может принести ученику скорее вред, чем пользу, если тот начнёт применять
его для решения некоторых школьных задач. Действительно, в школьной программе встречаются задачи, которые можно достаточно легко решить устно, используя метод «разумного» подбора
вместо того, чтобы составлять уравнение. Пример применения этого метода приведён здесь (Задача 1, 2-й способ). Решить задачи этим способом уместно тогда, когда величины, которые
надо найти в задаче — целые числа. Однако тех школьников, кто будет разбирать этот метод с помощью настоящей страницы, хочу сразу же предостеречь. Этот метод целесообразно применять
тогда, и только тогда, когда неизвестных в задаче два, три, иногда больше, но когда условий недостаточно, чтобы решить задачу в «лоб», используя привычные методы. Также следует отметить,
что такого рода задач нет в обычной школьной программе, но они вполне могут встретиться на олимпиадах по математике. А на олимпиаде школьнику полезно знать и такой метод. Тем более,
что существует целый ряд задач, которые решить можно только методом «разумного перебора» и никак иначе, другие — в помощью рассуждений и разумным подбором решаются проще, чем школьными методами. Приведу два простых примера таких задач.
|
Пример 1. Прилетели галки, сели на палки. Если на каждой палке сядет по одной галке, То для одной галки не хватит палки. Если же на каждой палке сядет по две галки, То одна из палок будет без галок. Сколько было галок? Сколько было палок? |
|---|
Решение.. Стихотворный слог, кажется настраивает ученика на лёгкое решение. Однако если решать задачу школьными способами,
то скорее всего надо вводить два неизвестных, например, X палок и Y галок и составлять два уравнения для каждого условия. Однако система уравнений в школе проходится только в 7-м классе. А такого рода задача
может встретиться на олимпиаде в 5-м классе. Как быть в том случае, если для решения задачи требуется то, что еще не знакомо пятикласснику? Для начала важно отметить, что как количество
палок. так и количество галок — целые числа. Во-вторых, галок на одну больше, чем палок, что следует из условия «Если на каждой палке сядет по одной галке, то для одной галки
не хватит палки». В-третьих, из условия «Если же на каждой палке сядет по две галки, то одна из палок будет без галок» следует, что галок — чётное количество. После этого начинается подбор
двух чисел, удовлетворяющих условию задачи. Предположим, что галок 6, тогда, исходя из первого условия, палок должно быть 5. Проверим, удовлетворяет ли это предположение второму условию?
Исходя из него, если палок 5, то галок должно быть 10. — Неверно. Берём другую пару чисел — 4 галки и 3 палки. Проверяем на соответствие второму условию. Если 4 галки сядут на две палки, то — да, третья палка
будет без галок. Ответ. 4 галки и 3 палки.
|
Пример 2. Мальчик на почте покупал открытки и марки. За всю покупку он заплатил 482 рубля. За каждую открытку он заплатил 35 рублей, а за каждую марку — 16 рублей. Сколько марок и сколько открыток купил мальчик? |
|---|
Решение. На первый взгляд кажется, что данных в условии недостаточно. В действительности, их недостаточно, если иметь ввиду только
привычные школьные методы. Однако если учесть, что нельзя купить половину открытки или половину марки, т.е. другими словами количества тех и других — целые числа, то отсюда следует,
что эта задача на подбор. Пусть марок было X, а открыток Y. Тогда, согласно условию, можно составить уравнение:
Выразим отсюда Y. Ученику, готовящемуся к олимпиадам, т.е. пяти-шестикласснику это можно объяснять так. Предположим,
что в этом уравнении всё известно, кроме Y. Решим это уравнение относительно Y:
Теперь будем подставлять вместо X целые значения до тех пор, пока не получится целым Y. Можно заметить при этом, что X может быть только чётным. Если
X=2, то Y=25,75 — не годится. Если X=4, то Y=21,375 — не годится. Если X=6, то Y=17. — Годится. Теперь важно проверить, не может ли быть у задачи другого решения. Продолжаем подставлять чётные значения вместо X до тех пор,
пока 482 будет оставаться больше, чем 25X. Нетрудно убедиться, что других решений уравнения в целых числах быть не может. Значит, мальчик купил 6 марок и 17 открыток.
У некоторых репетиторов существует точка зрения, что всегда надо чётко следовать программе и нельзя показывать ученикам методы,
которые они ещё не приходили в школе. В данном случае, нельзя обучать их решению уравнений с двумя и большим числом переменных. Однако если говорить о школьной программе и натаскиванию учеников именно на неё, то, конечно, не стоит это делать.
Одно исключение в этом — подготовка к олимпиадам. Важно, чтобы ученик знал несколько больше, чем обычная школьная программа, потому что олимпиада — это, как правило, задачи нестандартные,
выходящие за рамки программы. Такие задачи и такие приемы могут рассматриваться на занятиях школьного кружка, а также на занятиях с репетитором. Опыт показывает, что пяти-шестиклассники
охотно изучают методы, расширяющие их математический кругозор. В конце концов, это приводит к творческому восприятию школьной программы и к поиску самостоятельных путей решения
трудных задач. А ведь именно в этом и состоит одна из основных задач школьного математического образования. Научить ученика искать и находить различные приёмы для решения любых задач,
особенно нестандартных.
1) Кусок проволоки длиной 150 см нужно разрезать части длиной 15 см и 18 см так, чтобы обрезков не было. Найдите все способы, которыми это можно сделать.
2) По тропинке вдоль кустов
Шло 11 хвостов,
Насчитать я также смог,
Что шагало 30 ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?
Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?
3) На школьной математической олимпиаде шестикласснику предложили решить 12 задач. За каждую правильно решённую задачу
он получает 5 баллов, за каждую неправильно решённую — с него снимают 3 балла, если же он задачу не решал, то получает за неё 0 баллов. В результате он набрал 11 баллов. Сколько задач шестиклассник решил правильно?
4) Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты.
Сколько было птиц каждой породы?
5) 30 птиц стоит 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби — по 2 монеты, и пара воробьёв по монете. Спрашивается. сколько
птиц каждого вида?
6) На складе имеются гвозди в ящиках по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 100 кг гвоздей не открывая ящиков?
7) В магазине имеются гвозди в ящиках по 16 кг, 17 кг и 21 кг. Как отпустить организации 185 кг гвоздей, не вскрывая ящика?
8) В двух шкатулках лежит 70 монет. Известно, что в первой шкатулке 5/9 от числа всех монет – золотые, а остальные серебряные, во второй 7/17 от числа монет – серебряные, а остальные золотые. Сколько монет лежит в каждой шкатулке?
9) Решите ребус ПА2 = ПИЛА. (Каждой букве соответствует какая-то одна цифра).
Примечание репетитора по математике. Более сложные ребусы обычно рассматриваются в рамках другой темы — Логические задачи и ребусы, которые также решаются способом подбора вариантов, удовлетворяющих условию. Но часто бывает полезным
разобрать с учениками такого рода задачи и на занятии по методу перебора и на занятии по логическим задачам и ребусам с тем, чтобы у ученика возникло понимание того, что некоторые методы могут пересекаться в различных задачах. Т.е. не стоит
рассматривать их как догму — только такой способ и никакой другой. Кроме того, нельзя не отметить, что подбором порой решаются и некоторые несложные задачи по комбинаторике, хотя всё-таки это уже тема более старших классов, потому что требует изучения комбинаторных формул, содержащих факториалы. Тем не менее,
элементарные задачи по комбинаторике также могут встретиться пяти-шестикласснику на олимпиаде. На занятиях по олимпиадной математике я также рассматриваю с учениками и такие задачи:
10) Имеется 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Какое наименьшее число проб потребуется, чтобы в самом худшем случае разложить ключи на чемоданы, которые эти ключи открывают?
11) Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат в подземелье, но не знал, какой ключ от какой комнаты. Сколько комнат в подземелье,
если в худшем случае ему достаточно 21-й пробы, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты?
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.