Принцип Дирихле
Пожалуй, самыми типичными для математических олимпиад 5-6 класса являются задачи на принцип Дирихле.
Для того, чтобы стало сразу понятно, о чем речь, рассмотрим задачу из олимпиады для 5-го класса:
|
Пример 1. Каждая сторона куба разделена на четыре квадрата. Квадраты каждой стороны заполняют единицами, причём на каждой стороне помещают разное количество единиц – на одной стороне – одну, на другой – две и т.д. Докажите, что найдется по меньшей мере две стороны куба, на которых будет одинаковое количество единиц. |
|---|
Решение. На первый взгляд может показаться, что ничего сложного в такого рода задачах нет и
ответ напрашивается сам собой. Действительно, Так как у куба 6 граней, а вариантов количества единиц на гранях куба согласно условию всего 4 (это могут быть только такие варианты: 1, 11, 111, 1111 или вообще ни одной единицы),
то на «оставшейся» шестой грани обязательно будет одна из этих комбинаций, просто потому, что какой-либо другой вариант, согласно условию, невозможен.
Однако наибольшую сложность обычно представляют те задачи, которые требуют какого-либо «дополнительного построения» или умозаключения.
Рассмотрим одну такую задачу ниже, а пока сформулируем принцип Дирихле. Существует и часто приводится две формулировки принципа Дирихле: одна — строго математическая, другая — шуточная. Именно пятиклассникам
бывает важно привести обе формулировки, поскольку для того, чтобы решать задачи на принцип Дирихле часто ученику бывает более понятна именно шуточная формулировка.
|
Если раскладывать n предметов по m коробкам, причем если n > m, то обязательно найдется одна коробка, в которой количество этих предметов будет больше одного. |
|---|
Однако часто более понятной для понимания является шуточная формулировка и ее разновидности:
| Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика. |
|---|
Понятно, что вместо кроликов и клеток могут быть и любые похожие предметы или персонажи, коробки или помещения и т.п.
Теперь рассмотрим более сложный случай применения принципа Дирихле, когда для того, чтобы доказать то или иное утверждение,
надо сделать какое-либо построение, пусть мысленное.
|
Пример 2. Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 5 см друг от друга, окрашенные одинаково. |
|---|
Решение. Для того, чтобы наглядно доказать это утверждение, можно построить, пусть мысленно (а лучше, конечно, нарисовать)
равносторонний треугольник со стороной, равной 5 см. Из трёх его вершин по меньшей мере две будут окрашены одинаково, а расстояние между этими вершинами как раз и равно 5 см.
Задач на принцип Дирихле существует огромное количество. Ниже приведены задачи от достаточно простых, до требующих
смекалки и изобретательности. Все эти задачи и некоторые другие обычно рассматриваются с учениками в рамках моего курса для подготовки к олимпиадам для 5-6 классов.
1) Пять мальчиков собрали вместе 14 грибов, причем каждый нашел хотя бы один гриб. Докажите, что хотя бы два мальчика нашли
одинаковое число грибов.
2) В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся два человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день.
3) 15 пятиклассников собрали 100 грибов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое
количество грибов.
4) При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которого день и месяц рождения совпадают?
5) В классе 40 человек. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем
4 ученика из этого класса?
6) Коля подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 шоколадных конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше
четырёх шоколадных конфет.
7) Может ли Коля разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было различным?
8) Какое наименьшее количество любых натуральных чисел следует взять, чтобы среди них всегда
нашлась такая пара чисел, разность которых делилась бы на 5?
9) Квадрат со стороной 10 см разделён на 100 квадратов со стороной 1 см, и в каждом из них записано одна из трёх цифр — 1, 2 или 3.
Подсчитали суммы записанных цифр в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей получившейся таблицы. Может ли оказаться, что все подсчитанные суммы будут различными?
10) В ящике лежат 105 яблок четырёх сортов. Докажите, что среди них найдутся по меньшей мере 27 яблок какого-либо одного сорта.
11) Из точки на плоскости проведены семь несовпадающих лучей. Докажите, что среди углов, образованных соседними лучами, найдется
угол, величина которого больше 51°.
12) Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел обязательно найдутся три числа, сумма которых делится на три?
13) Написаны 25 четырехзначных натуральных чисел с различными цифрами, которые записываются с помощью цифр 1, 2, 3, 4.
Верно ли, что среди них обязательно найдутся два равных числа?
14) Внутри равностороннего треугольника со стороной 10 см отмечено пять точек. Докажите, что найдутся
две из них, расстояние между которыми будет не более пяти см.
15) Можно ли занумеровать вершины куба натуральными числами от 1 до 8 так, чтобы суммы номеров на концах каждого ребра куба были различными?
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.