Примерный вариант конкурсного тестирования по математике для поступающих в 10-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535 (углубленный уровень)

Примерный вариант конкурсного тестирования по математике для поступающих
в 10-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535 (углубленный уровень)

          Задание 1. Упростить выражение

приведя его к виду m^k, в бланк ответов внеся значение k.

          Решение:

Ответ. 15.

          Задание 2. Вычислить:

          Решение:

          Задание 3. На рисунке изображён график движения туриста из города A в город B. Определить скорость туриста (в км/ч) после привала.


          Решение: (18 — 9):(7 — 5) = 4,5.
Ответ. 4,5 км/ч.

          Задание 4. Найти значение выражения:


          Решение:

          Задание 5. Сократить дробь. Найти значение этой дроби при t=8.

Найдём корни квадратного уравнения 5t² — 8t — 4 = 0
D=64 — 4 · 5 · ( — 4) = 144
t₁ = 2; t₂ = — 0,4.
Значит, 5t² — 8t — 4 = 5 (t — 2)(t + 0,4) = (t — 2)(5t + 2)
t³ — 4t² + 4t = t (t² — 4t + 4) = t (t — 2)².
Таким образом,

Подставив значение t=8, получаем:

          Задание 6. Найти сумму всех различных корней уравнения

          Решение:


или

Пусть x²= t > 0. Тогда t² — 24t — 25 = 0; откуда t₁=25; t₂ = -1. Значит, x₁ = 5; x₂ = — 5.

x₁ = 5 не удовлетворяет области допустимых значений переменной. Значит, у заданного уравнения всего два корня: — 5 и 0,03. Таким образом сумма корней равняется — 4,97.
Ответ: — 4,97.

          Задание 7. Решить систему уравнений


В бланк ответов внести наибольшее возможное значение дроби

где пара чисел (x₀; y₀) является рещением данной системы.

          Решение. Из первого уравненияя имеем x₁ = 4; y₂ = -3. Подставив эти значения во второе уравнение, получим: y₁ = 6; x₂ = — 8.
Искомое отношение в одном случае равно

а в другом случае

. В ответе просят написать наибольшее значение этой дроби. Значит,

          Ответ. 1,5.

          Задание 8. В растворе спирта и воды спирта в четыре раза меньше, чем воды. Когда к этому раствору добавили 20 литров воды, получили 12%-ый раствор спирта. Сколько
литров воды было в исходном растворе?

          Решение. Так как в исходном растворе спирта в 4 раза меньше, чем воды, то спирта в нем — 20% (0,2x), а воды — 80% (0,8x). Составим уравнение (по воде).
0,8x + 20 = 0,88 (x + 20)
0,88x — 0,8x = 20 (1 — 0,88)
0,08x = 2,4
x = 30
Следовательно, воды в исходном растворе было 0,8 · 30 = 24 л.

          Задание 9. Решить систему неравенств

В ответе указать сумму всех различных целых решений данной системы.

          Решение. Корни соответствующего первому неравенству квадратного уравнения:    x₂ = 1;   x₁ = 5.
Числитель дроби второго неравенства < 0. Значит, второе неравенство можно переписать в виде: x² — 8x + 15 > 0 (Этот трехчлен не может равняться нулю, как знаменатель дроби). Корни соответствующего ему квадратного уравнения:    x₁ = 3;   x₂ = 5.
Нанесем полученные значения на ось.

Нижняя скоба — множество решений первого неравенства; две верхние скобы — множество решений второго неравенства. Штриховкой показано множество решений системы. В ответе
требуется написать сумму всех различных целых решений данной системы. Искомая сумма равняется 1 + 2 = 3.
Ответ. 3.

          Задание 10. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки с длинами 4 и 9. Найти площадь трапеции.

Дано ABCD — трапеция. Окружность с центром в точке O вписана в трапецию и касается ее сторон в точках
M, P, N, K. CP = 4; PD = 9. OP = OM = ON = OK — радиусы окружности.
         
          Решение. Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу. Значит, OP ⊥ CP, OM ⊥ BC. Следовательно, треугольники OCP и OMC — прямоугольные и равны по катету и гипотенузе,
так как OP = OM, а OC — общая. Аналогично треугольник ODN равен треугольнику OPD. Т.е. ND = PD = 9; MC = CP = 4. Следовательно HD = 5. Из треугольника HDC по теореме Пифагора находим высоту трапеции — CH.



BC = BM + MC = 10; AD = AN + ND = 15. Значит,

. Ответ. 150.

          Задание 11. Упростить выражение

и найти его значение при t = — 1,92.

          Решение.

Подставим значение t = — 1,92:

          Задание 12. На изготовление 437 деталей первый токарь затрачивает на 4 часа меньше, чем второй токарь на изготовление 483 таких же деталей. Известно, что первый токарь за час делает
на 2 детали больше, чем второй. Какое минимальное время потребуется второму токарю для изготовление 525 таких же деталей?

          Решение. Пусть x деталей в час изготавливает второй токарь, тогда первый изготавливает в час x+2 детали. Составим уравнение:


525:21=25 часов потребуется второму токарю для изготовления 525 таких деталей
Ответ. 25

          Задание 13. а) Найти значение m, при котором графиком функции
f(x)=(6-m) · x² + 2mx — 2 служит парабола, симметричная относительно прямой x = — 2.
б) Построить график функции f.
в) Указать промежуток убывания функции f
г) В той же системе координат построить график функции

д) Решить графически систему уравнений

е) Найти все значения параметра p, при которых прямая

имеет с графиком функции f не более одной общей точки.

          Решение.
а) Абсцисса вершины параболы находится по формуле

У параболы, симметричной относительно прямой x = — 2, x_в = -2. Подставим это значение, а также значения b и a в последнюю формулу:


б) Строим график функции f(x)=2x² +8x -2. Ордината вершины параболы равна -10.

в) Функция f(x) убывает на промежутке

г) Функция g(x) — гипербола. Построим график по точкам.

д) Определяем координаты точек пересечения графиков функций: А(-4; -2); B (-1;-8);
C(1: 8).
е) Для того, чтобы графики прямой и параболы имели одну общую точку надо, чтобы дискриминант соответствующего квадратного уравнения равнялся нулю:

Для того, чтобы у графиков было не более одной точки пересечения, необходимо, чтобы дискриминант

Александр Анатольевич, репетитор по математике. 8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей, в том числе и в 10-й класс физико-математического профиля
и в классы других специализаций. Готовящимся к поступлению в лицей № 1535, равно как и в другие лицеи, важно понимать, что реальные варианты на вступительных экзаменах несколько отличаются от демонстрационных.
Поэтому необходимо уметь решать и другие похожие задания.

Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы