Методика составления уравнения при решении текстовых задач и приёмы самопроверки составленного уравнения.
Довольно часто приходится сталкиваться с учениками, которые не владеют как навыками составления уравнений, так
и самими элементарными методами самопроверки и анализа уравнений, составляемых для решения текстовых задач. Обычно в школах, да и репетиторами по математике предлагается табличный
метод решения задач. Причём часто учителя и репетиторы сразу же рисуют таблицу, не объясняя ситуацию, о которой говорится в условии задачи. В связи с этим школьникам бывает
непонятно, что в какую ячейку таблицы записывать, а по готовым таблицам бывает сложно разобраться, почему уравнение было составлено такое, а не другое. Если же условие задачи
подано как-то нестандартно1, то ученики и вовсе теряются, совершенно не понимая, как нестандартное условие вписать в таблицу. Получается, что таблица
нисколько не облегчает решение, а напротив, усложняет его. Ученики тратят время на составление таблицы вместо того, чтобы составлять уравнение.
В результате у школьников порой возникает чувство страха перед задачами, да и перед таблицами тоже, причём масло
в огонь в этом вопросе подливают и репетиторы, утверждающие, что текстовые задачи – один из самых трудных разделов школьной программы. И то, что если школьник не понимает, как
решаются задачи, то причина состоит, как считает один известный репетитор, в «проблемах его мышления». Между тем, сосредоточившись на… расположении колонок таблицы, и вопросе
о том, в каком порядке вписывать в неё данные, он совсем ничего не говорит как о том, как научить ученика представлять ситуацию, описанную в задаче, так и о самопроверке.
Получается, что таблица удобна для репетитора, но совсем не удобна для ученика, поскольку часто не облегчает ему решение, а наоборот, усложняет. Если учителю привычно мыслить
таблицей, то это вовсе не означает, что и ученику удобно мыслить точно так же. Дело в том, что мышление ученика несколько отличается от мышления учителя – то, что понятно учителю,
вследствие обучения в ВУЗе, бывает не близко ученику, за плечами которого нет подготовки по разным предметам, где даются таблицы, как наилучший метод записи данных. Таким образом,
можно сделать вывод о том, что тот факт, что у учеников зачастую возникает страх перед задачами, решаемыми уравнениями, заключается вовсе не в «проблемах их мышления». Наверное,
просто методика преподавания задач школьникам далека от совершенства, поскольку видение задачи учителем бывает далеко от видения задачи учеником.
Выскажу свои соображения о том, что важно донести школьнику, решающему текстовые задачи.
Рассмотрим несложную задачу.
|
Задача. Автобус выехал из села в город, расстояние между которыми равно 140 км. Через 2 часа после отправления он сделал остановку на 10 минут. Чтобы прибыть в город без опоздания, шофёр увеличил скорость на 5 км/ч. Найти первоначальную скорость автобуса. |
|---|
Обычно только прочитав условие, школьники сразу же принимают за X то, что спрашивается. И, хотя в данной задаче это
оправданно, так бывает совсем не всегда. Дело в том, что вопрос о том, что принять за X напрямую зависит от вопроса «Что будем приравнивать?». Поэтому первым делом я прошу
ученика представить ситуацию и высказать соображения о том, что можно приравнять. Иногда бывает, что составить уравнение по задаче можно не одним способом, а несколькими, поэтому
важно, чтобы ученик сам определился, что удобно приравнять именно ему, и как он представляет ситуацию, описанную в условии задачи2. Например, в условии
этой задачи говорится о том, что есть некое расписание, но автобус задержался и потому, чтобы прибыть вовремя, увеличил скорость, соответственно затратив на некоторый путь
меньше времени, чем это требовалось по расписанию. На этом этапе ученик начинает ясно представлять, какое уравнение должно получиться – время, запланированное на путь по
расписанию минус получившееся время, равняется разнице3 во времени (по условию задачи – 10 минут). Так как в уравнении по этой задаче будет
фигурировать разница во времени, то за X (км/ч) надо принять скорость. Поскольку спрашивается скорость по расписанию, то принимаем ее за X (км/ч). На этом этапе важно объяснить
ученику, что каждая величина в задаче имеет размерность, и потому пишем в скобках (км/ч). Между тем, встречаются репетиторы, придерживающиеся табличного метода решения, при
котором в таблицах размерность даже не указывается, а решение задачи превращается в схему, понятную только учителю, из года в год решающего одну и ту же задачу.
Время, как известно, находится делением пути на скорость. Значит, сначала надо выразить путь, на котором скорости
автобуса отличались, а затем поделить этот путь сначала на одну скорость и затем на другую скорость и вычесть одно время из другого. Так как остановка произошла через 2 часа, то интересующий
нас путь равен 140 — 2X (км), так как за 2 часа автобус проехал 2X (км). По расписанию этот путь автобус должен был ехать со скоростью X км/ч, значит, время по расписанию находится
как (140 — 2X) : X, а время, которое получилось после увеличения скорости – (140 — 2X) : (X + 5). После этого важно, чтобы ученик понял, какое время больше. Если он понимает это
из условия задачи – хорошо, но бывает, что не каждому ученику это сразу понятно. Тогда важно, чтобы у ученика включился первый метод самопроверки. Причём это не помешает и тогда,
когда ученик понимает это из условия задачи.
Первый метод самопроверки состоит в сравнении дробей – нельзя из меньшей дроби вычитать большую, и получать
положительное время. Поэтому важно, чтобы ученик понимал, что та дробь больше, у которой знаменатель меньше. То есть первая дробь больше, чем вторая, так как, например,
1/2 > 1/3.
После этого необходимо 10 минут перевести в часы и составить уравнение согласно первоначальному представлению
ситуации – время по расписанию минус время в действительности равняется разница во времени:
Иногда ученики ошибаются и пишут вместо 1/6 число 10 (10 минут). Если так, то вторая самопроверка – самопроверка
размерностью позволит ученику самому найти эту ошибку. Если ученик написал тут 10 минут вместо 1/6, то вот так будет выглядеть уравнение размерности:
Наконец, несколько слов необходимо сказать после того, как ученик решил уравнение и получил его корни. Если один из
корней отрицательный, то ученики такой корень отклоняют по естественным причинам – скорость, время или путь не могут быть отрицательными. Но нередко встречается ошибка в ответе
при правильном решении. Дело в том, что, решив уравнение, ученик часто забывает, а что спрашивалось в задаче. Ему кажется, что ответ, полученный из уравнения – это и есть ответ
задачи. Поэтому на данном этапе важно остановить ученика и попросить еще раз прочитать условие задачи и, главное, — то, что спрашивалось в задаче. Поэтому, кстати, так важно
было в начале писать, что такое X, и в чём оно измеряется. Не секрет, что порой отстающие ученики при решении задач, где движущихся объектов два или три, пишут, например, что
пусть X – автобус, X-30 – велосипедист и т.п. Что автобус? Что велосипедист? Ведь за X и выражения с X принимают ту или иную характеристику движущегося объекта. И потому так
важно писать, что X – скорость автобуса (км/ч), X-30 – скорость велосипедиста в км/ч. И на этом этапе ученик понимает, почему в начале записи условия задачи на это было обращено
внимание. И только после того, как ученик ещё раз прочитал вопрос задачи, проанализировал ответ уравнения в соответствии с условием задачи, с тем, чтобы определить, правильно
ли он решил уравнение, он может написать ответ, который будет ответом именно на тот вопрос, который задан в условии задачи.
важно выделять следующие моменты:
- Что можно (или удобно) приравнять – анализируем условие задачи.
- В зависимости от ответа на вопрос 1) выбираем переменную.
- Составляем выражения и затем уравнение в зависимости от плана, выбранного в пункте 1) и переменной, выбранной в пункте 2)
- Выполняем самопроверку – большей и меньшей дроби.
- Выполняем самопроверку размерностью.
- После решения уравнения проводим анализ получившихся корней и их проверку в соответствии с условиями задачи.
Хочется надеяться, что изложенный в этой заметке алгоритм решения текстовых задач (в частности, задач на движение)
поможет тем ученикам, которым табличный метод записи условия бывает непонятен. Изложенная в этой заметке методика испытана мною на занятиях со многими учениками, как отстающими,
так и успевающими. И все в один голос мне говорили, что таблицы, которыми рекомендуют решать задачи некоторые учителя и репетиторы, отнимают у них время – часто учителя требуют
рисовать их строго по линейке и карандашом, вписывать данные в них требуют разноцветными ручками, а то и фломастерами. Одним словом, много внимания уделяется оформлению решения,
за которым у ученика теряется понимание. А если у ученика чего-то из этого нет, например, линейки, он думает не над решением задачи и составлением уравнения, а над тем, у какого
соседа одолжить линейку. Все эти мелочи отвлекают ученика от задачи и от понимания ситуации, изложенной в условии, мешают ему сконцентрироваться на её решении. А если ещё и
репетиторы не сосредотачивают внимание ученика на ситуации, изложенной в задаче, да настаивают на табличном методе, то становится понятным, почему школьники так не любят решать
задачи. Мои ученики в процессе обсуждения условия сразу понимают, каким будет уравнение, и все дальнейшие записи выражений по условию задачи подстраивают под это понимание, что
называется, на автомате. А у учеников, записавших все данные в таблицу, по словам всё того же репетитора, возникают «огромные проблемы на финальной части работы с таблицей».
И действительно, как из абстрактных выражений сложить правильное уравнение? Хочется напомнить репетиторам, предлагающим табличный метод решения задач своим ученикам, что уравнение
и его составление – реальный инструмент решения задачи. А таблица как таковая таким инструментом не является, поскольку не даёт решения задачи. Кроме того, ученики, пытающиеся
составлять таблицу, часто теряются, если задача хотя бы чуть-чуть отличается от стандартной.
© Александр Миров
1 Встречаются задачи, в которых скорости движущихся объектов выражаются иначе, чем разницей в км/ч.
Например, как ученику вписать в таблицу такое условие одной задачи: «Два пешехода выходят одновременно из двух деревень, расстояние между которыми равно 18 км, и через 2 часа
встречаются. Вычислите скорости каждого пешехода, если первый пешеход проходит каждый километр на 3 минуты быстрее первого»? Задача не сложная, решается составлением обычного
дробно-рационального уравнения, но если ученик начинает вписывать скорости пешеходов в таблицу, то ему это представляется неразрешимой проблемой. Вместо того чтобы решать
уравнение, которое легко составляется, он думает над тем, как выразить одну скорость через другую, чтобы вписать эти данные в таблицу. Другими словами, таблица отнюдь не
способствует быстрому и логичному решению, а наоборот, мешает. И пусть репетитор может справиться с этой задачей, ученику сделать то же самое бывает нелегко. А если учесть, что
решение задачи получается из уравнения, а не из таблицы, то зачем тогда таблица?
2 Иногда репетиторы по математике или предупреждают об… «опасности» обозначения времени в
качестве переменной, или дидактически, опять-таки не объясняя, говорят, что за X удобнее сначала принять скорость, а если не получается, то время, и лишь в некоторых случаях
путь. На самом деле, зачастую в этом нет никакой опасности, а возникает только некоторое неудобство. Действительно, если, предположим, в данной задаче спрашивалось бы, например,
время, которое потребовалось бы автобусу на обратный путь, то, увидев разницу в скоростях, ученик вполне может представить ситуацию несколько иначе. Скорость минус скорость –
равно разнице в скоростях, т.е. 5 км/ч. Тогда возникает определённое неудобство – получается, что, принимая за X время, другое время выразится как X-1/6 ч. В результате получится
трёхэтажная дробь, а затем и квадратное уравнение, в котором коэффициент при X2 — не единица, что не очень-то удобно, хотя и решаемо. В этом случае можно рассказать
ученику простое наблюдение – чем сложнее решение, тем больше вероятность ошибки.
3 Некоторые репетиторы рекомендуют применять несколько другую конструкцию уравнения. Они
рассуждают: «Если к меньшей величине прибавить, то она увеличится и сравняется с большей. Поэтому выпишем меньшую дробь и к ней прибавим известную разницу. Полученное выражение
будет равно наибольшей дроби». Вообще-то, прибавлять разницу к меньшей дроби и получать большую, или из большей дроби вычитать меньшую и получать разницу – выбор ученика. Если
один видит своё уравнение первым вариантом, а второй – вторым, то нет никакого смысла настаивать на каком-либо конкретном видении уравнения. Однако второй вариант мне
представляется предпочтительным, так как, во-первых, так ученику удобнее проверить уравнение – из большей дроби вычитается меньшая. А, во-вторых, такая запись выглядит удобнее
при дальнейшем решении – некоторые слагаемые сразу сокращаются (в данном случае, одинаковые числители умножаются на X, и такие выражения сразу сокращаются, так как между дробями
стоит знак минус).
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.