Типовой вариант вступительного тестирования в 9-й класс по математике
1) Решите уравнение:
Решение:
2) Упростите выражение:
Решение: Избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби
для чего умножим числитель и знаменатель этой дроби на сопряжённое знаменателю выражение, а вторую дробь сократим, для чего числитель разложим на множители:
3) Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
Решение:
4) Три подруги-ученицы: отличница Белова, хорошистка Чернова и троечница Рыжова
собирались на дискотеку. Вдруг черноволосая заметила: «Одна из нас имеет белые волосы, другая черноволосая, а третья — рыжая. Но ни одной из нас
цвет волос не совпадает с фамилией». «Да, ты права», — поддержала отличница. Какого цвета волосы были у хорошистки?
Решение:
Внесём информацию, которая содержится в первом предложении условия и в словах черноволосой в таблицу:
| белые | чёрные | рыжие | |
| «5» Белова | |||
| «4» Чернова | |||
| «3» Рыжова |
Так как отличница Белова не черноволосая, то поставим минус в соответствующей графе, после чего заполним всю таблицу:
| белые | чёрные | рыжие | |
| «5» Белова | |||
| «4» Чернова | |||
| «3» Рыжова |
Таким образом, у хорошистки были белые волосы.
5) Упростите выражение:
Решение:
Примечание репетитора по математике: Очевидно, что знаменатель первой дроби следует разложить на множители.
Для этого можно воспользоваться формулой разложения на множители с помощью корней соответствующего квадратного уравнения. Однако по некоторым программам
обычной школы эту формулу проходят только в 9-м классе. Безусловно, поступающим в 9-й класс лицея, несомненно, полезно изучить эту формулу. Однако иногда разложить
квадратный трёхчлен на множители несложно с помощью преобразований:
Таким образом:
6) Поле было убрано двумя комбайнами, при этом первый из них работал 12 ч, а второй 15 ч. За сколько часов
каждым из комбайнов можно убрать это поле, если первому потребовалось бы для этого на 11 ч меньше, чем второму?
Решение: Примем за 1 объем работы (в данном случае — площадь поля). Так как первому для того, чтобы
убрать всё поле потребовалось бы на 11 ч меньше, чем второму, то x часов потребуется на выполнение всей работы первому комбайну, а (x+11) — второму. Таким образом,
производительность первого комбайна — 1/x, а второго — 1/(x+11). Так как всё поле было убрано при том, что первый работал 12 ч, а второй — 15 ч, то составим и решим уравнение:
Таким образом, первому комбайну потребовалось бы 22 часа, чтобы убрать всё поле, а второму — 33 часа.
7) В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=12, ∠B=30°. Найдите длину высоты CK, проведённой из вершины
прямого угла к гипотенузе.
| Решение: Так как ∠B=30°, то ∠C=60°. Из прямоугольного треугольника AKC находим высоту AK: |
8) В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC. Докажите, что отрезки
BF и DE равны.
Решение: ∠BAC=∠DCA, так как отрезок AB || CD (ABCD — параллелограмм) и эти углы накрест лежащие (AC — секучщая).
Так как
BE⊥AC и DF⊥AC (по условию), то прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу. Значит BE=FD.
Прямоугольные треугольники BEF и DEF равны
по двум катетам (EF — общая). Следовательно, BF=DE, ч.т.д.
Решение:
Пусть высота трапеции BM=CN=x — высота трапеции. y=AM, тогда ND=3-y. Составим систему двух уравнений с двумя
неизвестными, применив теорему Пифагора для треугольников ABM и CND:
10) Постройте график функции:
Укажите, при каком
значении m прямая y=m имеет с графиком только одну общую точку.
Решение: Найдём сначала область определения функции.
Преобразуем выражение:
Графиком функции будет ломанная с выколотыми точками при x = 1 и x = 2.
Так как точки с координатами (1; — 4) и (2; 0) не принадлежат графику, то прямая y=m имеет с графиком только одну общую точку
при m1= — 4; m2 = 0; m3 = 4.
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.