Дроби
Одной из наиболее изучаемых в 5-6 классах является тема «Дроби». И хотя на олимпиадах по математике в последнее время
всё чаще и чаще встречаются задачи на логику, и всё меньше и меньше на дроби, такого рода задачи также важно уметь решать. Ниже я привожу задачи на дроби, которые обычно предлагаю
решить моим ученикам, готовящимся к олимпиадам. Некоторые их низ имеют не одно решение, а порой два или даже три, другие при кажущейся сложности можно легко решить в уме. Конечно важно,
чтобы ученик, приступающий к решению этих задач умел выполнять все действия с дробями. Однако некоторые из этих задач требуют понимания дробей как таковых, а не только знания правил, на которые
обращается пристальное внимание в школе, а также смекалки. Кстати, о смекалке. Приведу пример, в котором без неё никак нельзя.
|
Пример Докажите, что |
|---|
Решение. При первом взгляде на пример кажется, что к нему никак не подступиться — не решать же
его «в лоб» приводя дроби к общему знаменателю? Однако это не мешает некоторым Интернет-экспертам заводить данные в программу и программным методом доказывать, что эта сумма всё-таки
больше, чем одна вторая. Но задача эта предназначается обычно пятиклассникам. Значит, она требует какого-то нестандартного подхода. Обратим внимание на то, что слева от знака «больше» — 1000 слагаемых. Умножим числитель и знаменатель
одной второй на 1000. Получается:
Теперь разобъём получившуюся справа дробь на 1000 слагаемых.
Если последние дроби и слева и справа одинаковые, то все остальные дроби слева меньше, чем одна двухтысячная. А, как известно, при одинаковом числителе та дробь больше, у которой знаменатель меньше.
Значит, сумма дробей в исходном примере меньше одной второй. Что и требовалось доказать.
1) Рыба весит 8 кг плюс половина ее собственного веса. Сколько весит рыба?
2) Стоимость книги равна 48 рублей плюс треть стоимости книги. Сколько стоит эта книга?
3) Вася взял у товарища книгу на три дня. В первый день он прочитал полкниги, во второй – треть оставшихся страниц,
а в третий день прочитал половину прочитанного за первые два дня. Успел ли Вася прочитать всю книгу за три дня?
4) Половина – треть его. Какое это число?
5) На базаре крестьянин продавал корову. Подошел покупатель и предложил за нее 1000 рублей. На это крестьянин
сказал, что если заплатить еще половину цены коровы, то можно ее забирать. За сколько крестьянин хотел продать корову?
6) Перед началом учебного года мать купила школьникам тетради. Старшему сыну она дала тетрадь и четверть остатка,
среднему – одну тетрадь и четверть нового остатка, младшему – одну тетрадь и четверть очередного остатка. После этого в запасе осталось 24 тетради. Сколько было куплено тетрадей?
7) На столе в классе была стопка тетрадей, которые должны получить три ученика. Вначале пришел первый ученик,
взял третью часть тетрадей и ушел. Затем пришел второй ученик, взял третью часть оставшихся тетрадей и ушел. третий ученик тоже взял третью часть того, что было, и каждый
ученик считал, что он пришел первым. После этого на столе осталось 16 тетрадей. Сколько тетрадей было первоначально?
8) Когда пассажир проехал половину всего пути, то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину
того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он проехал спящим?
9) Как от шнура длиной 2/3 м отрезать 0,5 м, не пользуясь линейкой?
10) Длина ветки равна 2 м. В начале ветки сидит червяк. За первую минуту червяк проползает 1 м,
за следующую – 1/2 м, в течение следующей – 1/4 м и т.д., то есть за каждую следующую минуту он проползает в два раза меньше, чем за предыдущую. Доберется ли когда-нибудь
червяк до конца ветки?
11) Приходит пастух с 70 быками. Счетчик скота спросил его: “Сколько скота привел ты из своего стада?” Пастух
ответил: “Я привел тебе две трети от трети скота”. Определите, сколько скота в стаде.
12) Когда у рыбака спросили, как велика пойманная им рыба, он сказал: “Я думаю, что хвост ее – 1 кг, голова –
сколько хвост и половина туловища, а туловище – сколько хвост и голова вместе”. Как велика рыба?
13) Увидит Миша где-нибудь брошенного котенка, непременно подберет и принесет домой. Всегда воспитывается
у него несколько котят, а сколько именно, он не любит говорить, чтобы над ним не смеялись. Бывало, спросят у него:
– Сколько у тебя теперь котят?
– Немного, – ответит он. – три четверти их числа, да еще три четверти одного котенка.
Товарищи думали, что он просто смеется над ними. А между тем Миша задавал им задачу, которую решить совсем нетрудно.
Попытайся!
14) Кочан капусты на 4/5 кг тяжелее 4/5 этого кочана. Какова масса этого кочана?
15) Три брата получили от матери несколько пряников. Они их поделили по-бpатски. Младшему дали половину всех пряников
и еще половину пряника, среднему дали половину остатка и еще половину пряника, а старшему ¬ половину остатка и ещё половину пряника. Сколько всего мать дала им пряников?
16) Рассказывают, что основательница чешского государства, принцесса Либуша, предложила трем претендентам на её руку
загадку. «Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и еще одну сливу, второму половину остатка и еще одну сливу, а третьему половину того, что останется и
ещё три сливы, то корзина опустела бы. Сколько слив в корзине? А вы как думаете?»
17) Найдите такую дробь, которая от прибавления знаменателя к ее числителю и знаменателю увеличилась бы а) вдвое?
б) втрое? в) вчетверо?
18) Что больше
19) Найдите несократимую дробь, равную
20) В двух классах 6 ”А” и 6 “Б” вместе 82 ученика. Известно, что мальчиков в этих классах поровну. Мальчики в 6 “А”
составляют 3/5 учащихся своего класса, а мальчики 6 “Б” составляют 4/7 учащихся своего класса. Сколько учащихся в каждом из этих классов?
21) В двух шкатулках лежит 70 монет. Известно, что в первой шкатулке 5/9 от числа всех монет – золотые, а остальные
серебряные, во второй 7/17 от числа монет – серебряные, а остальные золотые. Сколько монет лежит в каждой шкатулке?
22) После семи часов стирки длина, ширина и высота куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько еще хватит оставшегося мыла?
23) Когда велосипедист проехал 2/3 пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени,
чем на велосипедную езду. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?)
24) В классе число отсутствующих учеников составляет 1/8 числа присутствующих. Если из класса выйдут еще два ученика,
то будет отсутствовать 20% учеников, оставшихся в классе. Сколько всего учеников в классе?
Примечание репетитора по математике. Такого рода задачи имеют и устное решение.
25) В классе число отсутствующих учеников составляет 1/6 часть от числа присутствующих. После того, как из класса
вышел один ученик, число отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствующих. Сколько учеников учится в этом классе?
26) Материал во время стирки садится на 1/18 по длине и на 1/14 по ширине. Какой длины надо купить материю, чтобы
иметь после стирки 221 м2? До стирки ширина материи была 7/8 м.
27) Знаменатель несократимой дроби на 2 больше числителя. Если числитель дроби, обратной данной, уменьшить на 3 и
отнять от полученной дроби данную дробь, то получится 1/15. Найти данную дробь.
28) Корона весит 60 мин (древняя единица массы) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь
вместе составляют 2/3 массы короны, золото и олово – 3/4, золото и железо – 3/5 общей массы. Определите массу каждого металла в отдельности.
29) Чему равна сумма
30) Найдите значение суммы наиболее удобным способом
Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589, подготовка к олимпиадам в 5-6 классах
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.