в 8-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535. 1 этап
1) Найти значение выражения:
Решение:
На рисунке изображен график движения туриста из города A в город B, причём по дороге им был сделан привал. Определить:
а) На каком расстоянии (в км) от города A турист сделал привал?
б) Какой была скорость туриста (в км/ч) после привала?
в) Какой была средняяскорость движения туриста (в км/ч) при движении из A в B?
Решение: а) ответ: 9; б) 18-9=9, 7-5=2, значит 9:2=4,5 км/ч; в) 18:5=3,6 км/ч.
3) Привести многочлен (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) к стандартному виду/
Решение: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p2-16)-p(p2-p-16)=p3+3p2-16p-48-p3+p2+16p=4p2-48
4) Найти корень уравнения выражения: 815 : x=417 · 26
Решение:
5) Пользуясь данными рисунка найти градусную меру угла α
Решение: 136°+44°=180°, значит, прямые параллельны. Следовательно, ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, значит, ∠α=180°-44°-56°=80°.
6) Чему равен корень уравнения
Решение: умножаем все слагаемые на 30, знаменатели сократятся:
7) Найти значение числового выражения:
Решение:
8) Если одну из смежных сторон квадрата уменьшить на 2 см, а вторую — увеличить на 6 см, то получится прямоугольник, площадь которого равна площади прямоугольника,
который получится из того же исходного квадрата, если одну из его смежных сторон не изменять, а другую увеличить на 3 см. Чему (в квадратных сантиметрах) равна площадь
исходного квадрата?
Решение. Пусть x — сторона квадрата. Составим уравнение:
(x-2)(x+6)=x(x+3);
x2+4x-12=x2+3x;
x=12
Площадь исходного квадрата равна 12 · 12=144 см2.
9) Задать формулой линейную функцию, график которой в системе координат 0xy проходит через точку Т(209,908) и не пересекается с графиком уравнения 9x+3y=14
Решение. Перепишем уравнение в виде
Формула линейной функции в общем виде y=kx+b. Если график искомой не пересекается с графиком данного уравнения, значит k=-3. Следовательно, 908=-3 · 209 + b, откуда b=1535.
Формула искомой линейной функции: y=-3x+1535
10) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45 % меди. Сколько килограммов чистого олова надо прибавить к этому куску сплава,
чтобы полученный новый сплав содержал 40 % меди?
Решение. Если в сплаве меди с оловом 45 % меди, то значит, в нем 55 % олова. Если в новом сплаве 40 % меди, значит, в нем 60 % олова. Пусть x — количество кг чистого олова, которого
надо прибавить к сплаву. Составим уравнение:
0,55 · 24 + x = 0,6 (x+24)
x-0,6x=0,6 · 24- 0,55 · 24
0,4x=0,05 · 24
x=3
Ответ: 3 кг.
Примечание репетитора по математике: подробнее о методах решения задач на сплавы и смеси можно почитать в статье Преимущества и недостатки различных методик решения задач на сплавы и смеси
11) По данным рисунка, на котором изображены графики двух линейных функций и парабола, найти абсциссу точки T.
Решение. Прямая y=5x и парабола y=x2 пересекаются в двух точках. Найдем абсциссы этих точек с помощью уравнения 5x=x2. Отсюда x1=0; x2=5. Значит, ордината точки пересечения равна 25
Прямая, на которой лежит точка T, проходит через точки с координатами (5;25) и (0;27). Уравнение прямой в общем виде: y=kx+b. Подставляя вместо x и y координаты точек прямой, получаем систему уравнений:
Точка T имеет ординату, равную нулю. Следовательно
Ответ. 67,5.
12) Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два объекта. Первый объект к моменту их встречи проходит на 100 метров
больше, чем второй, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найти длину трассы в метрах, если второй объект возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Примечание. В Интернете можно встретить сайты, где такого рода задачи решаются квадратным уравнением. Между тем, данная работа предназначена для поступающих в 8-й класс. То есть
решать эту задачу, зная квадратное уравнение, которое проходят в 8-м классе, некорректно. Ни к чему пременять программу 8-го класса для решения задачи, адресованной семиклассникам.
Ниже представлено решение, которое не требует квадратного уравнения
Решение. Пусть t — время до встречи объектов, v1 — скорость первого объекта, v2 — скорость второго объекта.
Тогда v1 · t — v2 · t = 100, так
как на момент встречи первый объект прошел на 100 м больше. Так как v2t — путь, который прошел 1-й объект после встречи, v1 — его скорость и вернулся он в точку А через 9 минут,
то можно составить уравнение
Аналогично . Три уравнения образуют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Поделим 1-е уравнение на 2-е. Получится:
откуда
Таким образом,
Подставив это выражение в первое уравнение, получим t=12 мин
Подставив последнее выражение и t=12 в третье уравнение системы, получим:
отсюда
Согласно условию длину трассы в метрах можно определить, сложив путь первого объекта до встречи и путь второго объекта до встречи. То есть
Ответ. 700 метров
13) На стороне ML квадрата MNKL построен равносторонний треугольник MPL, причём точка P расположена внутри квадрата. Найти градусную меру угла LPK.
Решение
По условию ML=PL=KL; треугольник PLM — равносторонний, значит, все углы равны 60°, значит, ∠ PLK=30°. Таким образом, ∠LPK=(180°-30°) : 2=75°.
14) Разложить на множители: (решения написаны сразу же)
Александр Анатольевич, репетитор по математике. 8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей, в том числе и в 8-й класс математической специализации
и в классы других специализаций. Готовящимся к поступлению в лицей № 1535, равно как и в другие лицеи, важно понимать, что реальные варианты на вступительных экзаменах несколько отличаются от демонстрационных.
Поэтому необходимо уметь решать и другие похожие задания.
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.