Одним из направлений моей работы в
качестве репетитора является подготовка способных учеников к поступлению в 5-й класс сильных школ,
например, гимназии 1543. Поскольку арсенал средств, доступных четвероклассникам для решения
задач повышенной трудности весьма ограничен — они должны решать все задачи арифметическим
способом, даже такие, которые в 5-7 классе решаются уравнением, то именно об арифметическом
способе и пойдёт речь в этой статье. Некоторые полагают, что арифметический способ достаточно примитивен, и что
поступающему необходимо знать, как решать задачи уравнением — якобы именно это демонстрирует его «продвинутость», однако это не так.
Если для решения некоторых трудных
текстовых задач в 5-6 классе во многих случаях составляется уравнение, то в 4-м классе и при
поступлении в 5-й класс сильной школы, например, гимназии 1543 необходимо умение решать такие
задачи арифметическим способом. Преимущества этого способа состоят в том, что достаточно сложные задачи
можно решить по действиям и подчас почти в уме с помощью несложных рассуждений и простейших
арифметических действий, что сделать с помощью уравнения бывает весьма затруднительно.
Проиллюстрирую эти размышления решением
одной задачи, предлагавшейся для поступающих в гимназию 1543.
|
Задача 1. Если сначала отец наколет четверть дров, а затем сын — оставшиеся дрова, им потребуется 40 минут. А если четверть дров наколет сын, а остальные отец, то они справятся за 32 минуты. За сколько времени сын наколол бы все дрова без помощи отца? |
|---|
Просмотрев более двух десятков сайтов,
где приведено решение этой задачи, с удивлением обнаружил, что везде эта задача решена
алгебраическим способом — составлением системы двух уравнений с двумя неизвестными.
Однако о какой системе уравнений может идти речь в 4-м классе? Значит, предполагается, что 4-классник должен решить эту задачу
арифметическим способом. И такое решение существует. Кстати, оно настолько простое, что позволяет решить
эту задачу при желании в уме.
Прежде всего, следует отметить, что
производительность отца и сына не одинаковы.
Важно отметить, что некоторые репетиторы,
даже рекламирующие подготовку в 5-й класс математических школ, как правило, недооценивают
возможности арифметического способа и обычно, так или иначе, рекомендуют своим подопечным
составлять уравнения, считая именно таких учеников способными и продвинутыми. Но одно дело
предложить ученику составить простенькое уравнение на все действия с числами, причём если
неизвестное находится только в одной его части и совсем другое — если уравнение к задаче
потребует приведения дробей к общему знаменателю, знания пропорции, сокращения дробей —
словом, всего того, что проходится в 5-6 классах. А предлагать четверокласснику решать задачи
составлением системы двух уравнений с двумя неизвестными и вовсе не выдерживает никакой критики.
Безусловно, взрослому, окончившему школу легко решить эту задачу алгебраическим способом, но
нельзя забывать, что четвероклассникам доступен пока еще только арифметический способ. Ни о каких системах уравнений и методах их решения
они ещё ничего не знают.
|
Алгебраический способ решения текстовой задачи состоит в том, чтобы составить уравнение или систему уравнений. Арифметический способ предполагает решение задач с помощью арифметических действий над числами. |
|---|
Арифметическим способом можно решить
достаточно много различных задач 5-7-го классов, для решения которых традиционно предлагается
составлять уравнение или даже систему уравнений. Рассмотрим несколько задач, которые можно
решать не только составлением уравнения, но и по действиям, т.е. арифметически.
|
Задача 2. В клетке сидят куры и кролики. У них 40 голов и 124 ноги. Сколько кур и сколько кроликов в клетке? |
|---|
В задаче два неизвестных и, кажется, что
иначе как уравнением или подбором задачу решить нельзя. Однако это не так. Решим её арифметически.
Предположим, что в клетке сидят только куры. Значит, у них 80 ног.
Однако всего ног 124. Значит,
Столько ног осталось неучтенных
при нашем предположении. А поскольку у кроликов 4 ноги, то из них по две ноги у каждого мы уже учли.
А две других у каждого пока не учли. Значит, кроликов:
4) 40 — 22 = 18 (кур)
Можно сделать проверку: кроликов
получилось 22. У них 22 * 4 = 88 ног. Кур, соответственно 40 — 22 = 18. У них 18 * 2 = 36 ног.
88 + 36 = 124 ноги. Значит, задача решена верно.
|
Задача 3. Поезд проходит по мосту длиной 500 метров за 40 секунд, а мимо столба за 15 сек. Найти длину и скорость поезда. |
|---|
Задачи такого рода нередко встречаются
на вступительных экзаменах в математические школы и лицеи. В частности, задача на эту тему,
обозначаемую обычно как «задачи на движение протяжённых отрезков» предлагалась для поступающих
в 6-й класс лицея «Вторая школа». Нередко репетиторы рекомендуют решать такие задачи уравнением.
Однако решить её можно и арифметическим способом.
На рисунке бледным цветом показан поезд,
подъезжающий в первом случае к столбу с флажком, а во втором — к мосту. Прежде всего,
необходимо уяснить, что мимо столба поезд проходит путь, равный его длине, а путь поезда через
мост равен сумме длины поезда и длины моста. Так как первый путь поезд преодолевает за 15 с,
а второй — за 40 с, то разница во времени — это то время, когда поезд находился на мосту полностью или
время, которое проходит от того момента как локомотив въехал на мост, до того момента как он съехал.
Так как длина моста равна 500 м, а время, которое
проходит от того момента как локомотив въехал на мост, до того момента как он съехал с моста равно 25 с,
то можно найти его скорость:
Так как путь, равный длине поезда (красный отрезок) поезд
проходит за 15 с, то длина поезда равняется:
Среди задач, часто вызывающих
трудности у школьников, относятся задачи на совместную работу различных машин и механизмов
вроде труб, бульдозеров, экскаваторов и т.п. или работников – машинисток, дровосеков, дворников
и т.д. Причём задачи на эту тему – постоянно, как и задачи на движение, встречаются на
вступительных экзаменах во многие лицеи и гимназии в 5-9 классы. Наиболее часто они решаются
уравнением, подчас с помощью дробей. При этом дроби приводятся к общему знаменателю, что конечно
же, не доступно четвероклассникам, поступающим в 5-й класс гимназии 1543. Но наши предки решали
такие задачи обычно арифметическим способом. Как они это делали? Рассмотрим достаточно часто встречающуюся в различных учебниках
задачу:
|
Задача 4. За пять недель пират Ерёма Способен выпить бочку рома А у пирата, у Емели Ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоём? |
|---|
Обычно эта задача адресуется 6-классникам и
решается так:
5 недель — это 35 дней; 2 недели — это 14 дней, тогда пират Ерёма выпивает
за день
1/35 бочки, а пират Емеля — 1/14 бочки. Вдвоём они выпивают за день:
Обратим внимание на то, что решение требует умения приводить
дроби к общему знаменателю, что по программе обычной общеобразовательной школы проходится не ранее 6-го класса
(например, по учебнику Виленкина).
Между тем, эту задачу можно легко решить
арифметическим способом.
За 490 (35 * 14) дней Ерёма выпьет 14 бочек, а Емеля за то же время выпьет
35 бочек. Значит, за 490 дней они могут выпить 49 бочек. Откуда следует, что одну бочку они могут
выпить за 10 дней (490 : 49 = 10).
Запишем решение по действиям:
1) 35 * 14 = 490 (дней) – пусть
столько дней пили ром оба пирата.
2) 490 : 35 = 14 бочек – выпьет за 490 дней Ерёма.
3) 490 : 14 = 35 бочек – выпьет за 490 дней Емеля.
4) 35 + 14 = 49 бочек – столько бочек они могут выпить за 490 дней вместе.
5) 490 : 49 = 10 дней – за столько дней Ерема и Емеля выпьют одну бочку рома.
Почему в решении этой задачи
присутствует число 490, а не, например, 70? Дело в том, что если шестиклассник знает, что
такое НОК – это входят в программу 6-го класса, например, по «классическому» учебнику Виленкина,
то четвероклассник может этого и не знать. Более того, наши предки решали такие задачи именно
просто перемножая числа. Этот способ доступен и четверокласснику.
Рассмотрим ещё одну задачу,
предлагавшуюся на вступительном экзамене в гимназию № 1543:
|
Задача 5. От Клина до Москвы 90 км. На полпути между Клином и Москвой находится деревня Простоквашино. Из Клина в Москву выбегает Шарик со скоростью 12 км/ч, а из Простоквашино в Москву одновременно с ним на велосипеде со скоростью 15 км/ч выезжает почтальон Печкин. Доехав до Москвы, Печкин тут же разворачивается и едет назад. На каком расстоянии от Москвы он встретится с Шариком? |
|---|
Некоторые репетиторы предлагают
решать такие задачи уравнением, в котором неизвестное находится в двух его частях, да ещё
и агитируют школьных учителей за то, чтобы те учили четвероклассников
пропорциям, приведению дробей к общему знаменателю и их сокращению, решению уравнений 6-го класса — таких, в которых неизвестная величина находится в обеих частях
уравнения, забывая, что и то, и другое, и третье – методы 5-го или 6-го классов, но отнюдь не 4-го.
В 4-м же классе от школьников требуется умение решать задачи арифметическим способом. К нему
и обратимся.
Красным цветом показан путь Шарика,
синим цветом — путь Печкина. Чёрно-жёлтым флажком обозначено место встречи Печкина и Шарика.
В задаче требуется найти расстояние между жёлтым флажком и Москвой. Расстояние между городами
равно 90 км, а деревня Простоквашино, согласно условию, находится посредине. Значит, расстояние между
Простоквашино и Москвой равно 45 км:
1) 90 : 2 = 45 (км)
Нетрудно заметить, что Шарик вместе
с Печкиным преодолели 135 км:
2) 90 + 45 = 135 (км)
Теперь найдём, сколько км в час
преодолевают они вместе:
3) 12 + 15 = 27 (км/ч)
Найдём теперь через какое время
они вместе преодолели 135 км (т.е. и расстояние, показанное красным цветом и расстояние, показанное синим цветом вместе):
4) 135 : 27 = 5 (ч)
Значит, Шарик пробежал до встречи:
5) 5 * 12 = 60 км.
Узнаем теперь, сколько километров
он не добежал до Москвы:
6) 90 — 60 = 30 (км)
Это и будет искомое расстояние.
В заключение хочется отметить, что
использование арифметического способа решения хадач развивает у школьников логическое мышление
и, зачастую, позволяет решать некоторые достаточно сложные задачи в уме, минуя уравнение
и зачастую не укладывающиеся в голове школьника действия, связанные со всеми действиями с дробями
от приведения их к общему знаменателю до деления и умножения. Встречаются ученики, которые
настолько хорошо вникают в арифметический способ, что способны решать им не только
задачи 4-5 классов, но и 6-7 классов. И в любом случае не стоит таких учеников вынуждать решать
задачи уравнением. Наоборот, полезно развивать их навыки решения задач арифметически.
Однако исходя из моего опыта репетиторства могу
отметить, что отношение школьных учителей к арифметическому способу неоднозначное. Когда-то у меня был
ученик, который вплоть до 8-го класса решал задачи по математике в уме именно арифметическим способом, но
при этом выше «тройки» в школе не имел. Его школьной учительнице очень не нравилось, если он решал
задачи по-другому — не так, как она учила, и то, что он обычно писал правильные ответы задач,
намного опережая своих одноклассников по времени, решавших задачи уравнением. Но его школьная
учительница требовала в любом случае составлять уравнения.
С другим моим учеником — пятиклассником,
произошёл такой случай, что школьная учительница в качестве домашнего задания предложила классу
найти в литературе по математике какую-либо задачу и решить её. Мой ученик выбрал в качестве таковой задачу про
пиратов (см. выше). Просто ученику эта задача понравилась занимательным сюжетом, навевающим интерес
к приключенческой литературе с участием пиратов. Однако школьная учительница, не привыкшая решать задачи такого рода
арифметическим способом, заявила, что в самом начале 5-го класса такие задачи решать еще рано — мол, пятикласснику
ещё не знакомы действия с дробями. Пришлось объяснять моему ученику, как решить эту задачу по действиям.
В последнее время ситуация стала меняться. Встречаются школьные
учителя, которые предлагают своим ученикам решать задачи исключительно логическими рассуждениями и арифметическим способом,
одновременно даже запрещая им решать задачи уравнением. Однако далеко не все репетиторы учат своих учеников
арифметическим способам решения. Если попадается какая-либо задача, которую, казалось бы,
привычнее решать уравнением или системой уравнений (как, например, Задача 1 — см. выше), то её и решают так, как
привычно, забывая, что в 4-м классе эти задачи принято решать иначе и гораздо проще. И поскольку
четвероклассникам алгебраический способ еще не доступен, то это означает, что решать задачи они
должны арифметическим способом. Роль репетитора в таких случаях состоит в том, чтобы объяснить
решение какой-либо задачи понятным четверокласснику арифметическим способом.
И конечно же, уметь решать даже сложные
задачи именно арифметическим способом полезно всем тем школьникам, которые поступают в 5-й класс
сильных школ, в частности, гимназии № 1543.
Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589, подготовка к поступлению в 5-й класс лицеев и гимназий.
Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г.
Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников.
Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным
и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету,
на развитие логического мышления.