Главная | Отзывы | Статьи | Методики | Варианты | Олимпиадные задачи | Разное |
---|---|---|---|---|---|---|
Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич |
+7 968 423-95-89 mirov2021@yandex.ru Москва |
---|
Типовой вариант вступительного тестирования в 11-й класс по математике 1) Упростите выражение: ![]() Решение: ![]() 2) Два каменщика выложили стены дома, работая сначала вместе 8 дней, а затем один первый каменщик ещё 7 дней. Если бы эта работа была поручена каждому в отдельности, то для её выполнения первому потребовалось бы на 7 дней меньше, чем второму. За сколько дней каждый из них может выложить стены этого дома? Решение: Пусть всю работу первый каменщик может выполнить за x дней, тогда второй может выполнить всю работу за x+7 дней. Примем всю работу за единицу. ![]() 3) Решите систему неравенств ![]() Решение: ![]() Нанесём точки 1 и 2 на ось. Так как неравенство нестрогое, то в точке x=1 имеем "жирную" точку, а в точке x=2 - выколотую. Эти две точки разбивают числовую ось на три интервала. С помощью подстановки значений вместо x из каждого интервала, определим и проставим знаки, которые имеет функция на каждом интервале. Так как нас интересует, где функция принимает отрицательные значения, выделим эти интервалы дугами. ![]() Теперь нанесём на этот же рисунок решение первого неравенства. Так как точка 2 не удовлетворяет области опредения второго неравенства, то и на сборном рисунке она будет выколотая: ![]() Ответ: [-2; 1]. 4) Решите уравнение: ![]() Решение: ![]() 5) Решите уравнение: ![]() Решение: ![]() ![]() 6) Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 12 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника.
7) Сумма второго и седьмого членов арифметической прогрессии равна 5. Найдите сумму первых восьми ее членов. Решение: ![]() 8) Касательная к графику функции f(x)=3x3 - 18x2 + 37x - 3 образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Найти координаты точки касания. Решение: Как известно, тангенс угла наклона касательной в точке касания равен производной функции в этой точке. Значит, ![]() ![]() ![]() 9) Расстояние от точки A до всех сторон квадрата равно 5 м. Найдите расстояние от A до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 2 м.
10) Найдите все значения параметра a, при которых парабола ![]() вся расположена ниже прямой y=7. Решение: Для того, чтобы вся парабола была расположена ниже прямой y=7 необходимо, чтобы её ветви были направлены вниз, для чего нужно, чтобы a+2 < 0, а ордината её вершины должна быть меньше 7. Исходя из этих условий и вспомнив, что ![]() ![]() ![]() | ![]() |