Лицей 1567, поступаем в 8-й класс
Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич		 +7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Лицей № 1567
Контрольная работа по математике для поступающих в 8 математический класс

          1) Решите уравнение:
уравнение

          Решение:
решение уравнения

          2) Найдите неизвестный член пропорции:
пропорция

          Решение:
решение уравнения

          3) Сократите дробь:
дробь
и найдите её значение при a = -1,1 ; b = 0,1
          Решение:
решение

          4) Решите уравнение:
уравнение

          Решение:
решение уравнения

          5) Известно, что среди трёх следующих утверждений есть верное: А) За 4 одинаковых фломастера заплатили 15 р. 86 к.; Б) за 6 таких же фломастеров заплатили 14 р. 58 к.; В) за 8 таких фломастеров заплатили 18 р. 68 к. Какое наибольшее число таких фломастеров можно купить, имея 50 рублей?

          Решение:
Для того, чтобы выявить верное утверждение поделим суммы на количество купленных фломастеров, и выявим верное утверждение, при котором цена фломастера получится целой (по копейкам). Так, число 15,86 не делится на 4 нацело (получается 3,965), а число 18,68 не делится нацело на 8 (получается 2,335). А число 14,58 делится нацело на 6 (получается 2 рубля 43 копейки). Теперь поделим 50 рублей на 2 рубля 43 копейки: 50 : 2,43 ≈ 20,58. Значит на 50 рублей можно купить 20 фломастеров.

          6) Имеется два сплава, массы которых отличаются на 54 килограмма. Первый сплав содержит 10 % олова, второй - 30 % олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав, который содержит 18,2 % олова. Найдите массу более лёгкого сплава.

          Решение:
Пусть масса лёгкого сплава x (кг), тогда масса более тяжёлого сплава x + 54 (кг). Составим и решим уравнение.
решение уравнения

          7) Таня и Люба красят забор за 12 часов, Таня и Катя выкрасят забор за 20 часов, а Люба и Катя - за 15 часов. За работу всем трём девочкам заплатили 1800 рублей. Сколько денег должна получить каждая девочка?

          Решение:
Прежде всего важно отметить, что по справедливости каждая из трёх девочек должна получить за выполненную работу пропорционально вкладу каждой в общее дело, т.е. пропорционально производительности. Примем всю работу за 1. Тогда
запись условия
Найдём суммарную производительность всех трёх девочек:
суммарная производительность
Найдём за сколько часов может покрасить забор каждая девочка в отдельности (т.е. найдём производительность каждой девочки). Для того, чтобы было удобно сравнивать вклад каждой, приведём полученные результаты к общему знаменателю 60:
производительность каждой
Так как вклады каждой пропорциональны числам 1, 2, 3 (1 : 2 : 3), то и вся сумма 1800 руб. должна быть разделена пропорционально числам 1, 2, 3. Значит, Катя должна получить 300 руб. (1800 : 6 x 1), Люба - 900 руб. (1800 : 6 x 3), а Таня - 600 руб. (1800 : 6 x 2).

          8) При каком значении a уравнение
уравнение
имеет бесконечное множество решений?
          Решение:
Для того, чтобы уравнение имело бесконечное множество решений необходимо, чтобы x не зависел от a. Например, этого можно достичь тогда, когда левая часть уравнения равна правой независимо от x.
уравнение

          9) Найдите наименьшее целое, не равное нулю, число Т, для которого 12960хТ является квадратом целого числа.

          Решение:
Целое число является квадратом целого числа тогда, когда количество одинаковых множителей в нём чётно. Разложим число 12960 на множители. Так как число 1296 является квадратом числа 36 (362 = 1296), то умножив число 12960 на 10 получим полный квадрат (3602 = 12960). Значит, Т = 10.

          10) В треугольнике ABC AB=BC, точка T - середина стороны AB, точка H - середина стороны BC, отрезок TP перпендикулярен к стороне AB, отрезок KH перпендикулярен к стороне BC (точки P и K лежат на стороне AC), ∠ABC=120°, АС = 21 см. Найдите длину отрезка PK.
рисунок

          Решение: Так как треугольник ABC - равнобедренный, и угол при вершине равен 120°, то ∠A=∠C=30°. Проведём отрезки BP и BK.
рисунок

Легко доказать, что треугольники ABP и BCK - равные равнобедренные треугольники (они равны по катету и острому углу), откуда следует, что AB=BP=BK=KC.
рисунок

Так как ∠ABC=120°, ∠ABP=∠CBK=30°, то ∠PBK=60°. Так как треугольник PBK равнобедренный и угол при вершине равен 60°, то он является равносторонним. Следовательно, PK=PB=BK. Искомый отрезок PK равен одной трети стороны AC.
PK = 21 : 3 = 7 см.

Александр Анатольевич, репетитор по математике в лицей 1567.
8-968-423-9589

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

Ответы на часто задаваемые вопросы