Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Метод весов

          Иногда встречаются пятиклассники, которые неплохо успевают по школьной программе, но которые хотят чего-нибудь этакого, что выходит за рамки школьной программы, например, по учебнику Виленкина. И в самом деле, на школьных олимпиадах им встречаются задачи, которые можно решить или подбором или уравнением, но при этом уравнение отличается от того вида, который изучается в 5-м классе тем, что неизвестные слагаемые находятся и слева и справа от знака «=». Более того, порой школьные учителя сами дезориентируют учеников, говоря, что если неизвестные и слева и справа, то это означает, что уравнение составлено неправильно и вынуждают их думать над составлением другого, «правильного» по меркам 5-го класса уравнения. Между тем, некоторые уравнения программы 6-го класса вполне можно решить методами, доступными для понимания в 5-м классе.
          Рассмотрим классическую задачу: Ослица и конь шли вместе, нагруженные мешками равными по весу. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Что ты жалуешься? – сказал конь. – Если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются». Сколько мешков нёс каждый?
          Эта задача из года в год предлагается школьникам 5-го, 6-го и даже 7-го классов. Причем в 7-м классе ее требуется решить… системой уравнений. Остается только удивляться методикам школьных учебников, когда задачи, имеющие простое решение предлагается решать нерациональными способами.
          Но вернемся в 5-й класс. Некоторые ученики решают эту задачу методом подбора – перебора чисел, удовлетворяющих условию задачи. Однако её вполне можно решить уравнением даже в пятом классе, если объяснить пятикласснику, что такое уравнение.
          Обычно школьники, знающие, что за «x» надо принимать меньшее, легко понимают, что меньше мешков было у ослицы, и принимают количество мешков, которые несла она за x. А вопрос на сколько меньше порой требует специального пояснения. Часто говорят на 1 меньше, что неправильно. Если этот вопрос вызывает у ученика затруднение, то важно ему это пояснить, «проиграв» ситуацию. Предположим, что у ослицы x мешков, а у коня x + 1 мешков. Расположим эти сведения на модели уравнения:
О                   К
   x                   x+1

          Если, согласно условию, конь отдаст ослице один мешок, то у него останется x мешков. А Ослица, получив мешок, будет нести x + 1 мешков. И в этом случае равенства не получится. Значит, у Коня больше не на 1 мешок, а на 2. Тогда, если он отдаст один мешок (x + 2 - 1), а Ослица этот мешок получит (x + 1), то у них будет мешков поровну. Выразив через x сколько мешков нёс каждый, мы разобрались со вторым условием задачи («наши грузы сравняются»). Теперь выразим математической записью первую часть условия задачи. Если Ослица отдаст Коню один свой мешок, то у нее станет x – 1 мешков. А если Конь этот мешок получит, то у него станет x+3 мешков. Внесём эти сведения в нашу модель уравнения:
О                   К
   x                   x+2
   x-1                x+3

          Согласно условию задачи, когда всё это произойдет, у Коня ноша будет вдвое больше, а у Ослицы, соответственно меньше, значит, умножив количество мешков Ослицы на 2, можем приравнять это выражение к большему:
2(x - 1) = x + 3

          Раскрыть скобки здесь может любой пятиклассник:
2x - 2 = x + 3

          Неизвестное x, таким образом, получился и слева и справа. Такие уравнения обычно учат решать в 6-м классе после прохождения темы «Отрицательные числа». Однако пятикласснику вполне можно объяснить, что уравнение представляет собой по сути чашечные весы, на одной чаше которых находится 2x-2, а на другой x+3:
модель уравнения
          Весы в равновесии. Если снять с обеих чаш одно и то же, то равновесие не изменится. Снимем (отнимем) с обеих чаш весов x:
модель уравнения
          Получается простое уравнение x - 2 = 3. Откуда x = 5. Ослица несла 5 мешков, а Конь – 7 мешков.

          Опыт показывает, что пятиклассники неплохо осваивают этот прием. Более того, зная этот прием, школьники, как правило, не ошибаются в знаках, когда в 6-м классе они проходят правило, что если какой-то член уравнения переходит в другую часть, то он меняет знак на противоположный. Поняв суть уравнения с помощью такой задачи, они, решая уравнения, осмысленно и правильно меняют знаки в более сложных линейных уравнениях 6 и 7 классов, согласуясь с "методом весов".

© Александр Миров

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.