Главная Отзывы Статьи Методики Варианты Олимпиадные задачи Разное
Профессиональный репетитор по математике
Александр Анатольевич
+7 968 423-95-89
mirov2021@yandex.ru
Москва
Конкурсная работа по математике для поступающих в 8-й класс лицея № 1523

          1. Вычислить
математическая запись

          Решение:
математическая запись

          2. Решить уравнения. а) (x-2)(x+3)+(x-2)(2x+1)=(2-x)

          Решение:
(x-2)(x+3)+(x-2)(2x+1) + x - 2=0
(x-2)(x+3+2x+1+1)=0
x1=2; x2= - 5/3
          б)
математическая запись

          Решение:
математическая запись

          3. Найти значения параметров m, a и b, при которых равенство
( 2 x 2 + x - 5)(x + m) = 2 x 3 + 3 x 2 + ax + b
оказывается верным при любом значении x.
          Решение:
Равенство окажется верным при любых значениях x тогда, когда левая часть будет тождественно равна правой. Раскроем скобки в левой части уравнения.
2 x 3 + 2mx2 + x2 + mx - 5x - 5m = 2 x 3 + 3 x 2 + ax + b
2mx2 + x2 + mx - 5x - 5m = 3 x 2 + ax + b
(2m + 1) x2 + (m - 5) x - 5m = 3 x 2 + ax + b
Уравняем соответствующие коэффициенты:
2m + 1 = 3
m - 5 = a
–5m = b
Откуда m = 1; a = –4; b = –5.

          4. Ломанная состоит из трёх отрезков и имеет длину 11 см. Первый отрезок равен 17,5 % всей длины ломанной, второй отрезок - 5/11 длины оставшихся двух отрезков. Найти длину третьего отрезка ломанной.
          Решение:
1-й способ: Так как первый отрезок равен 0,175 x 11, то второй и третий отрезки ломанной в сумме равны 0,825 х 11. По условию, второй отрезок равен 5/11 длины второго и третьего отрезков. Значит, третий отрезок равен 6/11 этой длины. Перемножив 6/11 и 0,825 х 11 получим 6 х 0,825 = 4,95 см
2-й способ: Первый отрезок ломанной 0,175x11. Так как в задаче не требуется находить все отрезки ломанной, решим задачу без вычисления длин первого и второго отрезков ломанной, для того, чтобы не делать лишних вычислений и не терять время на них:
Значит, второй и третий отрезки ломанной 11-0,175x11
А второй отрезок ломанной:
математическая запись
Значит, третий отрезок ломанной равняется: 11 - 0,175x11 - 5 + 5x0,175 =
= 6(1 - 0,175) = 4,95 см
Примечание репетитора по математике
Конечно, задачу можно решить последовательно находя отрезки. Первый равняется 1,925 см, а второй - 4,125 см. После из 11 вычесть сумму этих отрезков. Однако порой на вступительных экзаменах требуется не просто решить задачу или пример, а решить наиболее рациональным и коротким способом. В условиях конкурса преимущество обычно имеет тот поступающий, который решил задачу наиболее рациональным способом.

          5. При каком d прямые 5x + 3y = 7 и 2y + x = d, пересекаются в точке, принадлежащей прямой y = - 2x.
          Решение:
Найдём абсциссу точки пересечения первой прямой и прямой y = - 2x. Для этого в запись формулы первой пряиой вместо y подставим -2x.
5x - 6x = 7, откуда x = - 7. Ордината этой точки равна 14 (y = ( -7 ) x ( - 2) = 14). Теперь найдём d.
2 x 14 + (– 7) = 21.

          6. Построить график функции
запись функции
По графику полученной функции определить, при каких значениях x значение y
а) равно нулю;
б) больше нуля;
в) меньше нуля.
Примечание репетитора по математике
Существует точка зрения, что графики функций с модулями - совсем не тема седьмого класса, особенно если это не график функции y = |x|, а что-то отличающееся. И что семиклассники, даже если они и поступают в восьмой класс хорошей школы, могут и не знать, как строится график такой функции. Однако задача любого конкурса выявить лучших. Поэтому примеры, слегка выходящие за рамки школьной программы рассчитанны на то, что поступающий просто умеет думать и находить решения даже в том случае, если в школе ничего такого не было. Другими словами, конкурс выявляет не только то, как поступающий освоил типовые задачи седьмого класса, но и то, как он умеет решать нестандартные примеры.
          Решение: Первый способ:
математическая запись
график функции
Ответ

          Второй способ: График функции y = |x| имеет вид:
график функции y=|x|

Нетрудно заметить, что график функции y = - |x| симметричен графику функции y = |x| относительно оси Ox.
график функции y= - |x|

Прибавляя 1 ко всем значениям, получаем график
график функции y= - |x| + 1

Так как
запись функции
то отбросим левую часть
график функции
Так как y = 1, при x < 1, имеем график заданной функции:
график функции

запись функции

          6. Построить график функции.
2) y = (x - 2)2 + (x + 3)2 - (2 x2 + 12)
По графику полученной функции определить, при каких значениях x значение y
а) равно нулю;
б) больше нуля;
в) меньше нуля.
          Решение: Упростим запись функции:
y = (x - 2)2 + (x + 3)2 - (2 x2 + 12) = x2 - 4x + 4 + x2 + 6x + 9 - 2 x2 - 12 = 2x + 1.
Построим график функции y = 2x + 1
график функции

Абсцисса точки пересечения графика с осью Ox находится из уравнения 0 = 2x + 1. Откуда x = - 1/2. Значит,
Ответ

          7.
а) Докажите, что при любом целом n значение выражения (2n - 3)2 - (4n - 1)(n + 6) кратно 5.
          Решение: (2n – 3)2 – (4n – 1)(n + 6) = 4 n2 – 12n + 9 – 4n2 – 24n + n + 6 = – 35n + 15 = 5 (– 7n + 3)
Выражение кратно 5, так как в нём есть множитель 5.

          7.
б) известно, что
(a-b)/a=5
Найдите значение выражения:
(2a+4b)/b

          Решение.
Упростим первое выражение:
b=-4a
Подставим это выражение вместо b во второе выражение: b=-4a

          8. ∠A треугольника ABC равен α, а ∠B - прямой. Точка D отложена на AC так, что CD=CB. Точка E отложена на AB так, что BE=BD. Найти ∠ADE, если α<45°.
При каком значении α    ∠ADE будет вдвое меньше α.
          Решение.
рисунок к задаче
Для удобства обозначим всё углы цифрами. Треугольник BCD - равнобедренный по условию (BC=CD). Значит, ∠2=∠3.
Треугольник BED - равнобедренный по условию (BD=BE). Значит, ∠4=∠6.
∠1 = 90° - α (так как треугольник ABC - прямоугольный и сумма острых углов равна 90°).
∠2 = ∠3 = (180° - ∠1) / 2
∠5 = 90° - ∠2
∠4 = ∠6 = (180° - ∠5) / 2
∠ADE = ∠7 = 180° - ∠3 - ∠4; так как ∠ADC - развёрнутый.

Так как от угла α зависит ∠1, выразим ∠4, а также ∠5 через ∠1.
∠5 = 90° - ∠2 = 90° - (180° - ∠1) / 2 = (∠1) / 2; ∠4 = (180° - ∠5) / 2 = 90° - (∠1) / 4.

Следовательно, ∠7 = 180° - ∠3 - ∠4 = 180° - (180° - ∠1) / 2 - (90° - (∠1 / 4)) = (3 ∠1) / 4 = (270° - 3α) / 4.
∠ADE = (270° - 3α) / 4 .
Если α = 45°, то ∠ADE = (270° - 135°) : 4 = 33,75°. Значит, если α < 45°, то
33,75° < ∠ADE < 90°.
Найдем значение α, при котором ∠ADE будет вдвое меньше α.
математическая запись
Откуда α = 54°.

          9. Упростить выражение и вычислить при
математическая запись

математическая запись

          Решение.
математическая запись

Репетитор по математике 8-968-423-9589 Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы - подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.